Читать «Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)» онлайн - страница 72

  Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

  В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n» ), если в нём существуют n линейно независимых элементов e₁ , e₂ ,..., e_n , а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e₁ , e₂ ,..., e_n — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

  x = a₁ e₁ + a₂ e₂ +... + a_n e_n .

  При этом числа a₁ , a_2, ..., a_n называются координатами вектора х в данном базисе.

  Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l ₁ , l ₂ ,..., l _n . Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

  (l₁ , l₂ , …, l_n ) + (m₁ , m₂ , …, m_n ) = (l₁ + m₁ , l₂ + m₂ , …, l_n + m_n );

  a (l₁ , l₂ , …, l_n ) = (al₁ , al₂ , …, al_n ).

  Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e₁ = (1, 0,..., 0), e₂ = (0, 1,..., 0),..., e_n = (0, 0,..., 1).

  Множество R всех многочленов a₀ + a₁ u + … + a_n uⁿ (любых степеней n ) от одного переменного с действительными коэффициентами a₀ , a₁ ,..., a_n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u² ,..., uⁿ (при любом n ) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное В. п.

  Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1 ; его базисом могут служить многочлены 1, u, u² ,..., uⁿ .

  Подпространства В. п. В. п. R' называется подпространством R, если R' Í R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R ) и если для каждого вектора v Î r' и для каждых двух векторов v₁ и v₂ (v₁ , v₂ Î R' ) вектор lv (при любом l ) и вектор v₁ + v₂ один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v₁ , v₂ как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x₁ , x₂ ,... x_p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_p x_p . В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x₁ будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x₁ . Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x₁ и x₂ будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x₁ и x₂ . В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x₁ , x₂ ,..., x_p этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k ) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени £ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u² ,..., uⁿ ), есть (n + 1 )- мepное подпространство пространства R всех многочленов.