Читать «Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)» онлайн - страница 71

  Лит.: Будак Б. М.. Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.

  Э. Г. Позняк.

Векторное произведение

Ве'кторное произведе'ние вектора а на вектор b — вектор, обозначаемый [а, b ] и определяемый так: 1) длина вектора [а, b ] равна произведению длин векторов а и b на синус угла j между ними (берётся тот из двух углов между а и b , который не превосходит p ), 2) вектор [а, b ] перпендикулярен вектору а и вектору b , 3) тройка векторов а , b , [а, b ], согласно с ориентацией пространства, всегда правая или всегда левая (см. Векторное исчисление ). В. п. широко применяется в геометрии, механике и физике (например, момент силы F, приложенной к точке М относительно точки О , есть В. п. [, F ]).

  Лит.; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.

  Э. Г. Позняк.

Векторное пространство

Ве'кторное простра'нство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

  Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление ). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

  1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

  2) (х + у ) + z = x + (y + z ) (ассоциативность сложения);

  3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x ;

  4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0 ,

  5) 1 · х = х,

  6) a (bx ) = (ab ) х (ассоциативность умножения);

  7) (a + b ) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);

  8) a (х + у ) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

  Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

  a₁ e₁ + a₂ e₂ + … + a_n e_n    (1)

  называется линейной комбинацией векторов e₁ , e₂ ,..., e_n с коэффициентами a₁ , a₂ ,..., a_n . Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a₁ , a₂ ,..., a_n отличен от нуля. Векторы e₁ , e₂ ,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁ , e₂ ,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁ , e₂ ,..., e_n называется линейно независимыми.