Читать «Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)» онлайн - страница 73

  Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у ) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

  1) (х, у ) = (у, х ) (перестановочность);

  2) (x₁ + x₂ , y ) = (x₁ , y ) + (x₂ , y ) (распределительное свойство);

  3) (ax, у ) = a (х, у ),

  4) (х, х ) ³ 0 для любого х , причем (х, х ) = 0 только для х = 0 .

  Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством . Длина |x | вектора x и угол  между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

 

  Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство Eⁿ получим, определяя в n -мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x = (l₁ , …, l_n ) и y = (m₁ , …, m_n ) соотношением

  (x, y ) = l₁ m₁ + l₂ m₂ +… + l_n m_n .     (2)

  При этом требования 1)—4), очевидно, выполняются.

  В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у ) = 0. В рассмотренном пространстве Eⁿ условие ортогональности векторов x = (l₁ , …, l_n ) и y = (m₁ , …, m_n ), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

  l₁ m₁ + l₂ m₂ +… + l_n m_n = 0. (3)

  Применение В. п . Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R — множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения yⁿ + a₁ (x ) y ^{(n + 1 )} + … + a_n (x ) y = 0 . Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений: