Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 99
Рудольф Ташнер
Несчетному же множеству соответствует давка в гардеробе Венского музыкального общества после окончания концерта филармонического оркестра: все любители музыки — а в «гардеробе Гильберта» их бесконечное множество — без всякого порядка лезут к гардеробщицам, чтобы получить пальто. В вестибюле царит немыслимый кавардак. Бедная гардеробщица абсолютно беспомощна. В этой толчее ей ни за что не удастся установить хоть какой-то порядок в выдаче верхней одежды. Всегда найдутся любители музыки, чувствующие себя оттесненными и потерявшие всякую надежду получить пальто.
Программа Гильберта
Какими бы странными и причудливыми ни казались нам сценарии «отеля Гильберта», «остановки Гильберта» и «гардероба Гильберта», они были очень важны для самого Гильберта, стремившегося внести ясность в эти сценарии, ибо в них отражен его метод вычислений, связанных с числами с бесконечным десятичным представлением. Вспомним, что величиной
надо овладеть во всей ее полноте и цельности. Самым демоническим в этом представлении числа π являются три точки … после первых 35 цифр после запятой. Как нам понимать эти точки? Самый правдоподобный ответ заключается в том, что π имеет не 35 знаков после запятой; этих знаков после запятой в данном числе бесконечное множество. Выше приведены 35 первых знаков. Все остальные — а их бесконечно много! — представлены коротким символом многоточия ….
«Но тогда позволительно задать вопрос, — скажет скептик в ответ на вышеприведенные рассуждения, — встречается ли, например, цифра ноль, которая в последовательности первых тридцати пяти цифр после запятой встречается всего один раз, бесчисленное множество раз в бесконечной записи числа π».
«Совершенно верно, — ответил бы на это Гильберт, — и в тех десятичных представлениях числа π, которые были до сих пор вычислены, цифра ноль встречается с той же частотой, что и все остальные цифры: в последовательности из 100 знаков после запятой цифра ноль встречается десять раз, в последовательности из тысячи знаков — сто раз, в последовательности из десяти тысяч знаков — тысячу раз и так далее».
«Пока число π вычислено до конечного числа знаков после запятой, — вставляет свое слово скептик. — Для остальных знаков — а их бесчисленное множество, то есть намного больше, чем вычисленных, — вы этого не знаете».
«Признаю, что вы правы. Для всего бесконечного множества знаков после запятой у меня в настоящий момент нет ответа. Но я тем не менее убежден, что либо верным является утверждение о том, что в десятичном представлении числа π цифра ноль встречается бесконечное число раз, либо верно утверждение о том, что число ноль встречается в этом представлении конечное число раз».
