Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 98

В конце концов директор говорит: «Листка, заполненного так, как у меня, в вашем блокноте определенно нет. Не совпадают наши записи на первой странице, потому что первый турист у меня ведет себя не так, как первый турист у вас. Не могут совпасть записи и на вторых страницах, потому что второй турист у меня ведет себя не так, как второй турист у вас. Какую бы страницу, под каким бы номером мы ни взяли, записи в них не совпадут, потому что на страницах моего блокнота туристы ведут себя не так, как туристы соответствующих страниц вашего блокнота».

Несколько минут она молча смотрит на собеседника. После короткого замешательства к руководителю агентства возвращается дар речи: «Ну хорошо, тогда я возьму ваши страницы и включу их в свой каталог, и тогда мы получим все возможные варианты».

«Вы что, не понимаете, что это абсолютно бессмысленно? — начиная выказывать легкое нетерпение, говорит директор отеля. — Если вы включите мои страницы в свой список и снова придете с ним ко мне, то я начну такую же игру в вопросы и ответы и смогу еще раз создать страницы, которых, со всей определенностью, нет в вашем списке. Не может существовать никакого списка всех мыслимых комбинаций отдельных решений каждого из бесконечного множества туристов».

Этот парадокс восходит к немецкому математику Георгу Кантору, открывшему его в 1873 г. В этом парадоксе он обнаружил поистине удивительное свойство бесконечного: иногда бесконечное множество может быть «счетным». Под этим термином имеют в виду, что такое множество можно упорядочить как последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, …. Например, это бесконечное множество комнат в отеле Гильберта, каждая из которых даже помечена соответствующим номером на двери. Или это бесконечное множество туристов в огромных автобусах. Или это бесконечное множество автобусов на исполинской парковке «отеля Гильберта». Каждый элемент бесконечного счетного множества будет когда-нибудь обязательно назван в процессе перечисления. Рассказанная выше история показывает, однако, что бесконечное множество может оказаться и «несчетным». То есть невозможно так упорядочить несчетное множество, чтобы каждый его элемент соответствовал бы какому-то натуральному числу и был бы когда-нибудь назван при перечислении. Выходящее за все мыслимые пределы число возможностей для бесконечного множества туристов в каждом отдельном случае решить, остаться ли в «отеле Гильберта» или проследовать дальше, как раз и представляет собой пример такого хаотичного, несчетного бесконечного множества.

Разницу между счетным и несчетным множеством лучше всего пояснить двумя примерами. Счетное множество соответствует очереди на автобусной остановке в Лондоне. Англичане славятся своим умением дисциплинированно выстраиваться в очереди — в затылок друг другу. Надо теперь лишь вообразить, что на остановке — если угодно, можно назвать ее «остановкой Гильберта» — выстроилось бесконечное множество людей. Но и в этом случае среди них есть первый, второй, третий и так далее. Каждому из этих людей соответствует некоторое число — его личный номер. Каждый человек знает, что, когда в автобус войдут люди с меньшими номерами, настанет его очередь.