Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 101

Гильберт не желает примиряться с этой отговоркой. Для него принципиально не существует никакого «ignorabimus». Его не существует и для несущественных вопросов. Встречается ли в десятичном представлении числа π ноль конечное или бесконечное число раз, должно быть тем не менее — в этом Гильберт твердо убежден — установлено принципиально: «Он, однако, ведет себя так, или он ведет себя не так (притом что я, возможно, не в состоянии это решить)!»

И наконец, лучший, третий путь, который Гильберт и формулирует в своей программе. Здесь он снова упоминает письмо Гаусса Шумахеру, где написано: «Бесконечное — это всего лишь façon de parler», то есть оборот речи. Точно так же, как Гильберт незадолго до 1900 г. истолковал геометрию как игру такими пустыми выражениями, как «точка», «прямая», «плоскость», — сведя при этом правила игры в двадцать аксиом — и смог представить геометрию в виде полной и непротиворечивой теории, он поступил и с числами с бесконечным десятичным представлением, к которым тоже можно приложить этот принцип.

Вычислительные операции с числами с бесконечным десятичным представлением в глазах Гильберта тоже выглядят как игра в шахматы на доске с бесконечным числом клеток и фигур. Так же как в шахматах существуют фигуры, которые передвигаются по определенным заданным правилам, в математике существуют числа, которыми оперируют по определенным правилам. Так же как в шахматах всегда можно наверняка сказать, поставлен ли королю соперника мат или нет, ожидается, что и в математике можно всегда с уверенностью, руководствуясь определенными принципами, определить, верна какая-либо формула или нет.

В этой шахматной игре математики слово «бесконечный» является не чем иным, как фигурой. И так же, как шахматный король не владеет королевством, не правит народом и не творит историю, а является всего лишь точеным куском дерева в руке игрока, бесконечное, согласно правилам игры Гильберта, является лишь пустым понятием, которому не соответствует ни нечто действительно великое, ни просто большое. «Бесконечное» — это всего лишь слово, с которым обходятся в соответствии с предписанными правилами. Следует, таким образом, показать, чего позволяет достичь отточенная строгой системой правил математическая «шахматная игра», в которой «бесконечное» — это такая же фигура, как, например, король в обычных шахматах, — и нужно просто следовать законам конечной арифметики, то есть вычислительным операциям с хорошо известными конечными числами. С одной стороны, все встречающиеся в этой математике формулы могут быть либо истинными, либо ложными, а с другой стороны, могут оказаться парадоксальными, но не противоречивыми, то есть не ведущими в логический тупик.

Сотрудники Гильберта, и среди них Пауль Бернайс, Вильгельм Аккерман, Жак Эрбран и Джон фон Нейман, сразу и со всей серьезностью отнеслись к программе своего наставника. В связи с этим стоит сказать пару слов о каждом из этих людей.

Пауль Бернайс родился в Лондоне и впоследствии стал жителем Цюриха. В молодости он учился в Париже, Берлине, а затем в Гёттингене. В Гёттингене (с небольшим перерывом на поездки в Цюрих) Бернайс преподавал до 1933 г. Изгнанный из Германии как еврей, он уехал в Швейцарию, где до конца жизни проработал в Высшей технической школе Цюриха. Вместе с Джоном фон Нейманом он разработал изящную систему правил, состоящую из аксиом, рассматривающих как числа, так и «бесконечное» как «фигуры» математической «игры». Надо было всего лишь доказать, что эта система аксиом полна и непротиворечива.