Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 96

То есть свободными остались первый номер и все комнаты, номера которых делятся не только на какое-то единственное простое число. В эти свободные номера можно теперь переселить покинувших свои номера после прибытия новичков постояльцев, ожидающих в гостиничном ресторане.

Однако усложним картину и превратим «гостиницу Гильберта» в «отель Гильберта с почасовой оплатой». Представим себе, что ровно в полночь, то есть в ноль часов, к пустому отелю подъезжает автобус с бесчисленным количеством пассажиров. Первый из них входит в отель и получает комнату под номером 1, но ровно через один час он покидает комнату, выходит из отеля и возвращается в автобус. В этот момент, то есть через один час, в отель входят следующие два пассажира и, поскольку первый гость уже покинул отель, получают комнаты под номерами 1 и 2. Они, однако, остаются в отеле ровно полчаса, после чего возвращаются в автобус, а им на смену в отель входят четыре пассажира. Этих четверых селят в комнатах с номерами 1, 2, 3, 4, но в этих комнатах они задерживаются всего на четверть часа. Через один час сорок пять минут после прибытия автобуса эти постояльцы пулей вылетают из отеля, возвращаются в автобус, а им на смену уже бегут восемь следующих пассажиров. Как мы видим, эти непрерывные входы и выходы становятся каждый раз все более захватывающими: каждый временной интервал, в течение которого гости пребывают в номерах, становится вдвое короче временного интервала, в течение которого в номерах пребывала предыдущая «смена», причем навстречу каждой выходящей «смене» спешит другая, численность которой вдвое больше. Что, однако, произойдет ровно в два часа ночи, в тот момент времени, когда временные интервалы станут невероятно сжатыми? Будет ли к этому моменту отель заполнен до отказа, ибо в каждый данный момент в отель входят в два раза больше людей, чем выходят из него? Или, наоборот, отель в этот момент будет пуст, ибо все побывавшие в нем пассажиры автобуса уже покинули отель?

Или — здесь, возможно, и зарыта собака — эта ситуация становится настолько неправдоподобно гротескной, что такой вопрос просто лишается всякого смысла? Не взрывает ли этот пример все глубокомысленные разговоры о природе бесконечного?

Бесконечная игра в вопросы и ответы

Надо описать еще один парадокс. Для большей наглядности и облегчения понимания мы начнем с отнюдь не парадоксальной ситуации. Руководитель туристического бюро приходит к директору «отеля Гильберта» и извещает о том, что вечером к ее отелю подъедет автобус с тремя туристами, господами А, Б и В.

Каждый из них может решить остаться на ночлег в «отеле Гильберта», но может захотеть поехать в другое место. Директор оказалась весьма добросовестной дамой и пытается войти в положение каждого из своих гостей, а для этого она должна знать все возможные исходы решений потенциальных гостей. Во-первых, все туристы могут захотеть поехать в другое место, и тогда никто из них не останется ночевать в отеле. Во-вторых, есть и такая возможность: например, турист А решит остаться в отеле, а двое других изъявят желание ехать дальше. В-третьих и в-четвертых соответственно, либо турист Б, либо турист В захотят сойти и остаться в «отеле Гильберта», а два его спутника поедут дальше. В-пятых, в-шестых или в-седьмых соответственно, А решит ехать дальше, а Б и В захотят остаться, или Б захочет ехать дальше, а А и В решат остаться, или В захочет ехать дальше, а А и Б решат остаться. И наконец, есть и восьмой вариант, когда все три туриста решат остановиться в «отеле Гильберта». Добросовестная директор отеля аккуратно записывает все восемь возможностей в блокнот. Теперь она подготовилась к прибытию туристического автобуса, так как у нее есть план действий на любой из восьми возможных случаев.