Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 95

Но, как бы то ни было, «гостиница Гильберта» никогда никому не отказывает, ибо, если все номера в этой гостинице заняты, но к администратору подходит новый гость, его желание будет исполнено — он получит место для ночлега. Администратор распорядится, чтобы каждый постоялец поменял свою комнату на комнату с номером, большим на единицу. Таким образом, постоялец из первого номера переедет во второй, постоялец второго — в третий и так далее. Каждый постоялец гостиницы легко найдет свой новый номер, так как его номер будет всего на единицу больше, чем у старого. Первый же номер освободится для нового постояльца.

Но это лишь начало парадоксов «гостиницы Гильберта». Теперь представим себе, что номера заняты, а перед подъездом гостиницы остановился автобус с бесконечным множеством новых гостей. Вся эта бесчисленная толпа стоит у стойки гостиницы и с нетерпением ждет ключей от вожделенного номера. Но как быть, если все номера уже заняты? Администратор, однако, находит решение: каждый живущий в гостинице постоялец переезжает в комнату, номер которой в два раза больше номера комнаты, в которой он проживает. Таким образом, постоялец из первого номера переезжает во второй номер, постоялец из второго номера — в четвертый, из третьего номера — в шестой и так далее. Каждый постоялец легко находит новую комнату, потому что для того, чтобы ее найти, надо всего лишь умножить на два номер старой комнаты. Таким образом, все постояльцы, уже бывшие в гостинице, переселяются в четные номера, а новоприбывшие занимают бесчисленное множество нечетных номеров.

Но дальше дела идут еще чуднее. Теперь мы допустим, что к гостинице неожиданно подъезжает бесчисленное множество автобусов, останавливающихся на исполинской парковке. В каждом автобусе — ряд за рядом — сидят бесчисленные пассажиры. Всех этих людей, число которых — «бесконечность, помноженная на бесконечность», надо разместить в гостинице, каждого в отдельный номер. И это невзирая на то, что «гостиница Гильберта» забита до отказа. Однако администратор, несомненно, обладает недюжинным математическим талантом и находит удачное решение и в этот раз. Живущих в отеле гостей просят покинуть номера с вещами и собраться в гостиничном ресторане. Пассажиров первого автобуса администратор направляет в комнаты с номерами 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, то есть последовательность номеров представляет собой последовательность степеней числа 2. Пассажиров второго автобуса расселяют по комнатам с номерами 9, 27, 81, 243, …, то есть в комнаты, последовательность номеров которых является последовательностью степеней числа 3. Пассажиров третьего автобуса расселяют в комнаты, номера которых представляют собой последовательность степеней числа 5, то есть номера 5, 25, 125, 625, …. Теперь система становится понятной: пассажиров каждого следующего автобуса расселяют в номера, последовательность которых является последовательностью степеней каждого следующего простого числа. Так как последовательность простых чисел бесконечна, то администратор без проблем размещает в гостинице всех без исключения новоприбывших на бесконечном числе автобусов. При этом такое же бесчисленное множество комнат остается свободными, например комнаты с номерами 1, 6, 10, 12, 14, 15, ….