Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 94

Однако точно так же, как «существует» идеальный квадрат, площадь которого совпадает с площадью данного круга, — а именно в нашем мышлении, — «существует» и точный квадратный корень из числа π — тоже в нашем мышлении. На точность компьютерного результата, напротив, полагаться не стоит.

Давид Гильберт был убежден в следующем: так же как мы полагаемся на арифметику целых чисел, мы имеем право допустить, что и вычисление чисел с бесконечным десятичным представлением может быть точным и надежным.

Гильберт разделял это убеждение с Ньютоном и Лейбницем, первооткрывателями «исчисления», которое, как они полагали, можно использовать для операций с числами с бесконечным десятичным представлением, как и для расчетов с целыми числами. Гильберт разделял это убеждение и с теми многочисленными математиками, которые развивали и усовершенствовали «исчисление» Ньютона и Лейбница для разнообразных приложений.

Но Гильберт понимал, что одного лишь убеждения недостаточно. Действительно, существуют своеобразные феномены, когда с бесконечными числами начинают обходиться как с абсолютно безобидным понятием. Но потом, когда в игру вступает бесконечное, логика отказывает.

Гостиница парадоксов

С чем мы должны считаться, когда бесконечное уживается в мышлении рядом с конечным? Лучше всего для этого оценить диапазон этих понятий на образном примере: представим себе обычную гостиницу, то есть гостиницу с конечным числом номеров. (Для простоты мы примем, что гостиницы, о которых мы будем здесь говорить, предоставляют постояльцам только одноместные номера.) В одной гостинице с конечным числом номеров их можно перечислить в последовательности от 1 до, скажем, 313. После этого номера заканчиваются. В гостинице 313 номеров и ни одного больше. Если в гостинице проживают 313 постояльцев, то она заполнена до отказа. Если в такую гостиницу приходит человек и просит предоставить ему номер для ночлега, администратор не сможет этого сделать, и у того человека нет никаких шансов получить номер.

Совершенно по-другому обстоят дела в «гостинице Гильберта», располагающей бесчисленным количеством номеров. В этой гостинице тоже можно считать номера начиная с 1, но… число номеров в «гостинице Гильберта» никогда не заканчивается. К каждой комнате вдоль бесконечно длинного коридора этой гостиницы примыкает следующая комната. Применив перспективу, которой так виртуозно владели художники Возрождения, мы получим изображение ряда дверей, исчезающих в точке схода перспективы. Изображения дверей будут становиться все меньше и меньше — сначала они станут неразличимы невооруженным глазом, затем неразличимы при взгляде через лупу, а затем и под микроскопом. Но при этом мы знаем: этот ряд не кончается никогда. Может быть, именно перспектива, заставляющая видеть, как уходящие в туманную даль два параллельных рельса железнодорожного пути сходятся в одну точку, породила у некоторых людей иллюзию, что бесконечное можно охватить разумом.