Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 93

Польза от этих вычислений состоит в том, что они позволяют испытать эффективность примененного компьютера. Для вычисления с точностью до миллиардов знаков после запятой используют независимые друг от друга программы, а затем сравнивают полученные в результате последовательности цифр. Если какие-то значения не совпадают, то, значит, в конструкции компьютера, в его «железе», есть какой-то дефект, потому что сами формулы расчетов безошибочны, ибо арифметика целых чисел никогда не вводит в заблуждение.

Величину π любят называть бесконечным десятичным числом, и не потому, что оно на самом деле бесконечно — нет, оно меньше числа 3,142. Бесконечным его называют потому, что десятичное представление числа π нигде не обрывается. Кроме того, речь в данном случае идет об «иррациональном», бесконечном десятичном числе, потому что в его представлении невозможно обнаружить периодичность.

Фактически нам лишь кажется, что π — число. Строго говоря, это не так. Дело в том, что с помощью целых чисел невозможно вычислить точное значение этого удивительного числа. Если, например, мы имеем круг диаметром 1 метр, то его площадь будет равна точно π квадратным метрам. Для того чтобы вычислить сторону равновеликого квадрата, надо извлечь квадратный корень из числа π. Но как практически рассчитать эту «квадратуру круга»?

Вычислить квадратный корень из положительного целого числа очень просто. Для этого надо ввести число в калькулятор, выбрать «извлечение квадратного корня» и нажать клавишу или кнопку мыши. Результат тотчас высвечивается на дисплее. (Обычно это десятичное число с бесконечным числом знаков после запятой; правда, как правило, выдается результат с точностью до двух знаков.)

Однако вычислить квадратный корень из числа π, напротив, невозможно, ибо, прежде чем нажать клавишу извлечения квадратного корня, надо набрать все десятичные знаки числа π. Но это невозможно. Бесконечные числа не поддаются действиям такими методами.

Естественно, на практике человек наберет в поле исходного числа значение 3,142 и нажмет кнопку вычисления квадратного корня. Возможно, человек этот сравнит результат с результатами, полученными при вычислении квадратного корня из чисел 3,1416 и 3,14159, и если значения необходимых для вычисления знаков остаются стабильными, то этого вполне достаточно для практики. Однако математик, требующий точности, должен признать, что ни один из этих результатов не является истинным значением квадратного корня из π, так как невозможно ввести в компьютер его точное значение.

Эта проблема немного напоминает приближенное построение Коханского. Положение фон Линдемана с непреложной надежностью утверждает, что невозможно разрешить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки. Площадь квадрата Адама Коханского очень близко подходит к площади идеального квадрата, но никогда ее не достигает.