Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 127

Можно представить себе, что Ферма был одержим вычислениями. С маниакальным упорством он искал и находил тайны чисел. Он, например, обнаружил, что пятые степени всех цифр заканчиваются той же цифрой, стоящей в разряде единиц: число 0⁵ = 0 оканчивается на ноль, число 1⁵ = 1 оканчивается на единицу, число 2⁵ = 32 оканчивается на два, число 3⁵ = 243 оканчивается на три, число 4⁵ = 1024 оканчивается на четыре, число 5⁵ = 3125 оканчивается на пять, число 6⁵ = 7776 оканчивается на шесть, число 7⁵ = 16 807 оканчивается на семь, число 8⁵ = 32 768 оканчивается на восемь, а 9⁵ = 59 049 оканчивается на девять. А как обстоят дела с третьими степенями? В данном случае такой закономерности нет. Например, 2³ = 8, это число не оканчивается двойкой. Но Ферма находит, что 2³ — 2, то есть 8 — 2 = 6 без остатка делится на показатель степени три. Собственно, это то же самое, что было установлено им выше, а именно что пятая степень любой цифры минус эта цифра делится на пять. Ферма продолжает считать дальше: 3³ — 3 = 27 — 3 = 24, и это число на самом деле делится на три. Точно так же Ферма устанавливает, что 4³ — 4 = 64 — 4 = 60, и это число тоже делится на три, что 5³ — 5, то есть 125 — 5 = 120, и это число тоже делится на три, что 6³ — 6, то есть 216 — 6 = 210, и это число делится на три, что 7³ — 7, то есть 343 — 7 = 336, делится на три, что 8³ — 8, то есть 512 — 8 = 504, делится на три, что, далее, 9³ — 9, то есть 729 — 9 = 720, делится на три, что даже 10³ — 10, то есть 1000 — 10 = 990, делится на три и что 11³ — 11, то есть 1331 — 11 = 1320, тоже без остатка делится на три.

Это не может быть случайностью! Или все-таки может? Что, если исследовать четвертые степени чисел? Ну, например, 3⁴ = 81. Однако 3⁴ — 3, то есть 81 — 3 = 78, и это число не делится на четыре. Посмотрим, как обстоят дела с седьмыми степенями? В примере 2⁷ = 128 этот феномен снова всплывает во всей своей красе: 2⁷ — 2, то есть 128 — 2 = 126, и это число делится на семь. При 3⁷ = 2187 это правило тоже действует, ибо 3⁷ — 3, то есть 2187 — 3 = 2184, делится на семь.

Ферма не смог подтвердить этот феномен при показателе степени 4, однако закономерность имела место при показателях 5, 3 или 7. Числа 3, 5 и 7, подумал Ферма, простые. 4 таким числом не является. Может быть, дело именно в этом?

Эта мысль уже не отпускает Ферма. Если обозначить простое число символом p, то, возможно, для каждого числа a разность a^p — a делится без остатка на простое число p.

Изысканное рассуждение, развитое современником и другом Ферма по переписке Блезом Паскалем, утвердило Ферма в его дальнейших предположениях.

Что произойдет, спросил себя Ферма, если брать не p-ю степень числа a, то есть число a^p, а вычислить p-ю степень следующего числа, то есть (a + 1)^p? Это число можно представить в виде следующего выражения:

(a + 1)^p = (a + 1) (a + 1) (a + 1) … (a + 1).