Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 125

Если рассмотреть последовательность Гудстейна с начальным числом a₁ и если в этой последовательности после члена с номером n все остальные обращаются в ноль, (так что справедливо a_n = 1 и a_n + 1 = 0)то мы обозначим этот номер n выражением n = Θ (a₁). При таких обозначениях имеем: Θ(1) = 1, Θ(2) = 3, Θ(3) = 5 и Θ(4) = 3 × 2^{402 653 211}.

Последовательность Гудстейна с головокружительной скоростью растет, например, при a₁ = 19. (Число 19 хорошо подходит для понимания сути процесса, так как следующие два члена последовательности можно записать в виде степенной башни.) Второй член последовательности вычисляется исходя из:

a₁ = ₂(19) = 2²² + 2 + 1

и, таким образом,

₃Ω₂(19) = 3³³+ 3 + 1, a₂ = 3³³+ 3

Это уже весьма большое число, а именно a₂ = 7 625 597 484 990. Третий член последовательности, a₃, вычисляют так:

₄Ω₃ (3³³+ 3) = 4⁴⁴+ 4, a₃ = 4⁴⁴+ 3.

Этот член последовательности является числом, которое начинается с 13… и имеет 155 разрядов. Четвертый член последовательности является результатом следующих вычислений:

₅Ω₄ (4⁴⁴ + 3) = 5⁵⁵ + 3, a₄ = 5⁵⁵+ 2.

Это число начинается с 18… и имеет 2185 разрядов. Пятый член последовательности получают так:

₆Ω₅ (5⁵⁵+ 2) = 6⁶⁶+ 2, a₅ = 6⁶⁶+ 1.

Это число начинается с 26… и имеет 36 306 разрядов. И наконец, следующие вычисления дают шестой член последовательности согласно уравнениям:

₇Ω₆ (6⁶⁶+ 1) = 7⁷⁷+ 1, a₆ = 7⁷⁷.

Это число начинается с 38… и имеет 659 974 разряда. Последовательность Гудстейна, начинающаяся с a₁ = 19, приводит просто к немыслимо большим, неизмеримым числам.

Однако сам Гудстейн утверждает, что и эта последовательность рано или поздно закончится нулем. Это совершенно необъяснимо, но и сам Гудстейн не имеет ни малейшего представления о том, как долго придется ждать этих нулей. Он просто утверждает, что когда-нибудь это все же произойдет. Ясно одно — надо пройти гигантское число членов последовательности, число, превосходящее всякое воображение и всякие возможности его представления, чтобы когда-нибудь, при n = Θ(19), обнаружить, что a_n + 1 = 0. Более того, Гудстейн утверждает, что созданная им последовательность чисел

a ₁, a ₂ = ₃Ω₂ (a ₁) — 1, a ₃ =₄Ω₃ (a ₂) — 1, a ₄ =₅Ω₄ (a ₃) — 1, a ₅ =₆Ω₅ (a ₄) — 1….

всегда должна заканчиваться нулем, независимо от того, с какого числа a₁ начата эта последовательность. Это ошеломляющее, поистине невероятное высказывание. Мы не можем утверждать это даже для числа a₁ = 19. Но закономерность справедлива, говорит нам Гудстейн, даже для такого чудовищно большого числа, как a₁ = 3↑↑↑3. И это вопреки тому факту, что нам никогда не удастся назвать число ₂(3↑↑↑3), а уж следующий член последовательности a₂ = ₃Ω₂(3↑↑↑3) — 1 сокрыт и в вовсе непроглядном мраке.

В какой-то момент, уверен Гудстейн, когда основания для каждого последующего члена увеличивают на единицу, мы получим гигантские значения членов последовательности. Для того чтобы обосновать это, Гудстейн, однако, должен дать точное математическое определение бесконечному, к которому стремятся лопающиеся от своей величины члены последовательности Гудстейна. Мы подробнее поговорим об этом в последней главе. Соответствует ли эта математическая модель существу самого понятия бесконечного — вопрос открытый, и, вероятно, он всегда останется открытым.