Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 126

Если принять примененную Гудстейном математическую модель бесконечности всерьез, то фактически он прав. Существуют не только числа Θ(1), Θ(2), Θ(3) и Θ(4), существует также и число Θ(19). Собственно, должно существовать и число Θ(3↑↑↑3) — поистине головокружительное число.

11

Все дело в том, что при делении 10, 100, 1000, … на три в остатке всегда остается 1. Если, например, разделить на три число 4281, то при делении на три числа 4000 получится остаток 4 × 1 = 4, при делении на три числа 200 образуется остаток 2 × 1 = 2, при делении 80 на три остаток составит 8 × 1 = 8, а при делении единицы на три остаток будет равен 1 × 1 = 1. Поэтому остаток от деления числа 4281 на 3 будет равен 4 + 2 + 8 + 1 = 15, а это число делится на три без остатка, и поэтому остаток от деления числа 4281 на три равен нулю.

12

То, что Мерсенн показал на этом примере, справедливо всегда: если рассмотреть число, представленное двумя множителями a и b, то есть a × b, причем оба числа a и b больше единицы, то справедливо будет следующее равенство

2 ^a × b — 1 = (2^a — 1) × (1 + 2^a+2^2a +… + 2 ^{(b — 1) × a}),

правая часть которого является составным числом.

13

Чтобы воздать должное истине, надо сказать, что Ферма записывал эти числа в виде степенных башен. То есть эти числа принимают одновременно следующую форму:

2²⁰ + 1 = 2 + 1 = 3, 2 ²¹ + 1 = 4 + 1 = 5, 2²² + 1 = 16 + 1 = 17,

2²³ + 1 = 256 + 1=257.

и так далее.

14

В принципе, можно было последовательно делить число 4 294 967 297 на простые числа из достаточно длинной и полной таблицы простых чисел с тем, чтобы проверить, не делится ли данное число на какое-либо из простых чисел без остатка. Однако этот способ, не говоря уже о массе потраченного времени, невероятно примитивен. Наверняка Эйлер пошел другим путем. Вероятно, он нашел, что 641 = 5⁴ + 2⁴ и одновременно 641 = 5 × 2⁷ + 1. В силу справедливости первой формулы 641 делит без остатка число (5⁴ + 2⁴) × 2²⁸, а в силу справедливости второй формулы 641 делит без остатка число 5⁴ × 2²⁸ — 1, потому что его можно разложить следующим образом:

5⁴ × 2^28 – 1 = (5 × 2⁷ + 1) × (5³ × 2^21 – 5² × 2¹⁴ + 5 × 2^7 – 1).

Следовательно, если число 641 является делителем чисел (5⁴ + 2⁴) × 2²⁸ и 5⁴ × 2²⁸ — 1, то оно является и делителем их разности, то есть числа

(5⁴ + 2⁴) × 2²⁸ — (5⁴ × 2^28 – 1) = 2⁴ × 2²⁸ + 1 = 2³² + 1 = 4 294 967 297.

15

Нам, однако, хотелось бы понять, почему вообще работает такой своеобразный способ шифрования и дешифровки? Для того чтобы ответить на этот вопрос, надо в довольно далекое прошлое и оглянуться на Пьера де Ферма, отличавшегося неслыханным остроумием правоведа эпохи барокко, посвящавшего все свое свободное время изучению чисел.