Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 128

Или, другими словами, необходимо перемножить p чисел (a + 1). Такое вычисление может показаться страшно утомительным — особенно если p является очень большим простым числом. Однако из этого вычисления можно кое-что установить.

Давайте, например, рассмотрим его для простого числа p = 5. В результате перемножения получаем:

(a + 1)⁵ = (a + 1) (a + 1) (a + 1) (a + 1) (a + 1) = a⁵ + 1 + 5a⁴ + 10a³ + 10a² + 5a.

Как мы приходим к такому результату? С первым слагаемым a⁵ все ясно: все пять первых слагаемых a в скобках перемножаются между собой. Также все ясно со вторым слагаемым: все пять вторых слагаемых 1 в скобках тоже были перемножены между собой. Третье слагаемое 5a⁴получается так: из выражений в скобках берут четыре первых слагаемых a, одно второе слагаемое 1 и перемножают их между собой. Получается ровно пять возможностей выбора, откуда возникает множитель 5 перед степенью a⁴. Точно так же можно объяснить, откуда берется последнее слагаемое 5a. Четвертое слагаемое 10a³ получается так: из скобок выбирают три первых слагаемых a и два вторых слагаемых 1 и перемножают их. Сколько возможностей такого выбора? Для одного второго слагаемого 1 таких возможностей ровно пять, а для другого второго слагаемого 1 только четыре, ибо одно из чисел 1 уже было выбрано в качестве первого слагаемого 1. Всего это означает 5 × 4 = 20 возможных выборов. Впрочем, надо обратить внимание на то, что каждые два выбора из них дают одинаковые результаты, ибо для обоих выбранных чисел 1 совершенно безразлично, какое из них было «первым», а какое «вторым» из выбранных слагаемых. Число возможных перестановок двух выбранных чисел равно 1 × 2 = 2. На это число 2 надо разделить число 20, откуда получается множитель 10 перед степенью a³. И наконец, пятое слагаемое 10a² получается следующим образом: из скобок выбирают два первых слагаемых a и три вторых слагаемых 1 и перемножают их всеми возможными способами. Сколько существует возможностей выбора? Для первого из двух слагаемых 1 таких возможностей, очевидно, пять, для следующего второго слагаемого 1 остается только четыре, а у третьего и последнего второго слагаемого 1 таких возможностей всего три. Это означает, что возможных вариантов перемножения будет 5 × 4 × 3 = 60. Надо, однако, учесть, что для каждого выбора в каждых шести выборах результат перемножения будет одним и тем же, ибо не важно, какое именно из трех чисел 1 было «первым», «вторым» или «третьим» выбрано вторым слагаемым 1. Число возможных перестановок из трех выбранных чисел равно 1 × 2 × 3 = 6. Надо разделить 60 на это число, и мы получим множитель 10 перед степенью a².

Надо при этом заметить, что все множители 5, 10, 10 и 5 делятся на пять. Это связано с тем, что пять — простое число.

Теперь запишем в общем виде, как вычисляют выражения вида

(a + 1)^p = (a + 1) (a + 1) (a + 1)… (a + 1).

Для начала надо перемножить между собой все слагаемые a. Это дает в результате a^p. Вторым шагом является перемножение между собой всех слагаемых 1. Это дает в результате 1^p = 1. То есть: