Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 124

Оказывается, что раздувание числа имеет место только в том случае, если основание b не превышает число a, подлежащее раздуванию. Так, например, представление 42 по основанию 43 есть не что иное, как само число 42, и замена 43 на 44 дает тот же результат. То есть ₄₄Ω₄₃(42) = 42. Естественно, ₁₀₀Ω₉₉(42) = 42, и вообще для каждого основания b, большего 42, будет справедливо равенство _b+1Ω_b(42) = 42. Если, однако, основание b намного меньше числа a, то величина _b+1Ω_b(a) буквально взрывается.

Теперь мы подошли к главному, к тому, ради чего Гудстейн изобрел понятие раздувания числа. Гудстейн исходил из некоторого числа a₁. Сначала он представляет число a₁ по основанию 2, то есть образует ₂(a₁), а затем раздувает это число от основания 2 к основанию 3, то есть вычисляет ₃Ω₂(a₁). Из полученного таким способом числа он вычитает единицу и называет результат a₂. То есть a₂ = ₃Ω₂(a₁) — 1. Это число Гудстейн представляет по основанию 3 и раздувает его от основания 3 к основанию 4, то есть вычисляет ₄Ω₃(a₂). Следующее число a₃ этой последовательности он получает, вычитая из этого результата единицу, то есть a₃ = ₄Ω₃(a₂) — 1. Теперь Гудстейн представляет число a₃по основанию 4, раздувает его от основания 4 к основанию 5, то есть образует число ₅Ω₄(a₃) и для того, чтобы получить число a₄, вычитает из результата единицу: a₄ = ₅Ω₄(a₃) — 1. Дальше он продолжает в том же духе. Вот члены этой последовательности:

a₁, a₂ = ₃Ω₂(a₁) — 1, a₃= ₄Ω₃(a₂) — 1, a₄ = ₅Ω₄(a₃) — 1, a₅ = ₆Ω₅(a₄) — 1….,

или, в общем виде, a_n = _n + 1Ω_n(a_{n — 1}) — 1.

Рассмотрим для примера последовательность Гудстейна при a₁ = 3: имеем ₂(3) = 1 × 2 + 1, и значит, ₃Ω₂(3) = 1 × 3 + 1 = 4, следовательно, a₂ = ₃Ω₂(3) — 1 = 4 — 1 = 3. Теперь ₃(3) = 1 × 3 и ₄Ω₃(3) = 1 × 4 = 4, а a₃ = ₄Ω₃(3) — 1 = 4 — 1 = 3. Так как следующее число ₄(3) = 3, то здесь раздувание ничего не меняет: ₅Ω₄(3) = 3, откуда a₄ = 3 — 1 = 2. ₆Ω₅(2) равно 2, и значит, a₅ = 2 — 1 = 1, а ₇Ω₆(1) = 1 и a₆ = 1 — 1 = 0. С этого места все члены последовательности Гудстейна равны нулю.

Если начать последовательность с числа a₁ = 4, то все происходит более энергично: действительно, ₂(4) = 1 × 2², то есть ₃Ω₂(4) = 1 × 3³ = 27, следовательно, a₂ = ₃Ω₂(4) — 1 = 27 — 1 = 26. Далее, ₃(26) = 2 × 3² + 2 × 3 + 2, а значит, ₄Ω₃(26) = 2 × 4² + 2 × 4 + + 2 = 42, и, следовательно, a₃ = ₄Ω₃(26) — 1 = 42 — 1 = 41. Следующие члены последовательности выглядят так: a₄ = 60, a₅ = 83, a₆ = 109, a₇ = 139. Очевидно, что члены последовательности растут. Действительно, придется долго ждать, прежде чем этот рост прекратится. После этого величина членов последовательности долгое время остается постоянной, а затем, по мере увеличения основания по сравнению с величиной членов последовательности, начнет постепенно уменьшаться. Лишь после члена последовательности с номером 3 × 2^{402 653 211} (это число с более чем 121 миллионом разрядов) все следующие члены обращаются в ноль.