Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 123

Число 42 можно представить и по основанию 5. В этом случае процесс деления выглядит так:

42 = 8 × 5 + 2

8 = 1 × 5 + 3

1 = 0 × 5 + 1.

Теперь можно объединить эти результаты, представив их так:

42 = 8 × 5 + 2 = (1 × 5 + 3) × 5 + 2 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2,

получив в итоге

42 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2 = (1 3 2)₅.

Еще проще представить 42 по основанию 7. Здесь достаточно двух делений

42 = 6 × 7 + 0

6 = 0 × 7 + 6,

откуда непосредственно вытекает представление

42 = 6 × 7 + 0 = (6 0)₇.

Так же просто представить 42 по основанию 10. Для этого тоже нужны всего два деления:

42 = 4 × 10 + 2

4 = 0 × 10 + 4,

откуда следует представление 42 = 4 × 10 + 2 = (4 2)₁₀.

Представление числа по основанию 10 известно нам со времен Адама Ризе: это обычная запись числа в десятичной системе.

Нам, однако, для последующего изложения важны различные основания, ибо только так мы поймем, что имел в виду Гудстейн, говоря о «раздувании» чисел: при раздувании числа 42 от основания 5 к основанию 6 в представлении

42 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2

заменяют все числа 5 числом 5 + 1 = 6 и рассчитывают полученное таким образом число:

1 × 6² + 3 × 6 + 2 = 36 + 18 + 2 = 56.

При раздувании от основания 5 до основания 6 из числа 42 получают большее число, а именно 56. Точно так же можно раздуть число 42 от основания 7 до основания 8: исходя из равенства 42 = 6 × 7 + 0, образуют, заменяя 7 выражением 7 + 1 = 8, выражение 6 × 8 + 0 = 48. Здесь из числа 42 получается число 48. При раздувании числа 42 от основания 10 к основанию 11 заменяют 10 числом 10 + 1 = 11 и записывают: 4 × 11 + 2. Это дает раздутое число 46. Однако, раздувая число 42 от основания 2 к основанию 3, мы должны учесть одно дополнительное требование, установленное Гудстейном: по основанию 2 число 42 выглядит так:

42 = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0.

Здесь мы видим показатели степени, которые точно так же можно представить по основанию 2, а именно:

5 = 1 × 2² + 0 × 2 + 1, 4 = 1 × 2² + 0 × 2 + 0, 3 = 1 × 2 + 1 и 2 = 1 × 2 + 0.

Эти представления показателей степеней вводят в вышеприведенную формулу так, чтобы в полученном представлении числа 42 нигде, включая и показатели степени, не встречались числа, бо́льшие 2:

42 = 1 × 2 ^{1 × 22 + 0 × 2 + 1} + 0 × 2 ^{1 × 22 + 0 × 2 +0} + 1 × 2 ^{1 × 2 + 1} + 0 × 2 ^{1 × 2 +0} + 1 × 2 + 0.

Для упрощения мы можем в этом представлении числа 42, которое мы обозначим ₂(42), опустить все слагаемые с множителем 0. Таким образом, получаем:

₂ (42) = 1 × 2 ^{1 × 22 + 1} + 1 × 2 ^{1 × 2 + 1} + 1 × 2.

Теперь Гудстейн раздувает число 42 от основания 2 к основанию 3, для чего он везде, где встречается число 2, заменяет его на 2 + 1 = 3. Таким способом он получает:

1 × 3 ^{1 × 33 + 1} + 1 × 3 ^{1 × 3 + 1}+ 1 × 3 = 3 ^33+ 1+ 3 ^3 + 1+ 3 =3²⁸+ 3 ⁴+ 3 = = 22 876 792 455 045

В таком раздувании действительно что-то есть.

Теперь будет полезным ввести для раздувания соответствующие обозначения. Мы записываем тот факт, что число a представляется по основанию b, следующим образом: _b(a), и включаем в это представление все показатели степени, а также показатели показателей, чтобы в этом представлении нигде не встречались числа, большие b. Затем в этом представлении все числа b заменяют числом, большим, чем b на единицу, то есть на b + 1; в этом случае число a раздувается от основания b к основанию b + 1. Результат, полученный в этом случае Гудстейном, мы обозначим _b + 1Ω_b(a). Имеем ₆Ω₅(42) = 56, ₈Ω₇(42) = 48, ₁₁Ω₁₀(42) = 46 и ₃Ω₂(42) = 22 876 792 455 045.