Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 122

х = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767

и

у = 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.

Откуда Ферма черпал свою убежденность, мы не знаем. Только через сто лет дотошный швейцарский математик Леонард Эйлер доказал, что Ферма был прав.

Архимед, однако, на много сотен лет раньше знал то, во что верил Пьер де Ферма и сумел доказать Леонард Эйлер. Дело в том, что вторая часть загадки о быках Гелиоса сводится к нахождению двух чисел х и у, удовлетворяющих уравнению

у²= 410 286 423 278 424х² 1.

Как мы видим, речь идет об уравнении того же типа, что и у² = 2х² + 1, у² = 5х² + 1 или у² = 991х² + 1. Единственное отличие — очень большой множитель перед х².

9

Для знатоков: значение 70 возникает потому, что 70 сотых, то есть 0,7, с вполне достаточной точностью соответствует натуральному логарифму числа 2.

10

Однако это лишь начало того, как математика может продуцировать большие числа.

Пример сказочно большого числа, перед которым бледнеет даже число 3↑↑↑3, мы получим, если воспользуемся методом, придуманным британским математиком Рубеном Луисом Гудстейном в 1944 г. Однако для того, чтобы проследить за его рассуждениями, мы начнем рассказ издалека.

Сначала мы разберемся, что значит представление числа «по основанию». При этом основанием мы назовем любое число, отличное от единицы. Рассмотрим, например, наименьшее из возможных оснований — число 2, и число 42. Мы делим это число на основание, то есть в нашем случае 42:2, получаем частное 21 и остаток 0 и записываем результат следующим образом:

42 = 21 × 2 + 0.

Теперь разделим частное на основание, в нашем примере, 21:2, и получаем частное 10 и остаток 1, то есть:

21 = 10 × 2 + 1.

Эту игру мы продолжим до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. То есть последовательность результатов деления

42 = 21 × 2 + 0

21 = 10 × 2 + 1

10 = 5 × 2 + 0

5 = 2 × 2 + 1

2 = 1 × 2 + 0

1 = 0 × 2 + 1.

Теперь выписываем всю последовательность результатов:

42 = 21 × 2 + 0 =

= (10 × 2 + 1) × 2 + 0 = 10 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (5 × 2 + 0) × 2² + 1 × 2 + 0 = 5 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (2 × 2 + 1) × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 = 2 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (1 × 2 + 0) × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

=1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0.

Итак, результатом

42 = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0

число 42 представлено по основанию 2. Назовем полученные перед степенями двойки множители 1, 0, 1, 0, 1, а также приписанный в конце 0 (это множитель при нулевой степени 2 или 2⁰ — которая равна единице, ибо нулевая степень любого числа считается равной единице) «цифрами» числа 42 по основанию 2. Выписанное выше представление 42 по основанию 2 можно в сокращенном виде записать так (1 0 1 0 1 0)₂, или, подробнее:

42 = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 = (1 0 1 0 1 0)₂.