Читать «Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика» онлайн - страница 70

* * *

С древних времен в самых разных культурах предпринимались попытки выполнить приближение кривых прямолинейными отрезками равной длины при помощи различных методов. Даже в XVII веке еще проводились конкурсы по определению длин дуг некоторых кривых, в частности спирали Архимеда, цепной линии или циклоиды. Расчеты проводились геометрическими методами. Последний шаг к решению задач такого типа был сделан в конце XVII века с появлением дифференциального исчисления. В дифференциальном исчислении длина дуги рассчитывается по формуле

где f(x) — функция, длину графика которой требуется найти, f'(x) — ее производная, причем обе этих функции непрерывны на отрезке [а, Ь]. S будет длиной дуги, ограниченной а и Ь.

При доказательстве этой формулы используется прежняя идея: кривая представляется в виде последовательности прямолинейных отрезков, после чего для каждого из них применяется теорема Пифагора. Длина каждого отрезка будет равна

Δs = √(Δх² + Δу²⁾

Дуга кривой и отрезок Δs — гипотенуза треугольника с катетами Δх и Δу.

Приближенное значение S рассчитывается как сумма гипотенуз:

Чем меньше будет длина этих n отрезков, тем точнее будет полученный результат. В пределе все Δх_i будут стремиться с нулю, и, согласно определению определенного интеграла, на отрезке между а и Ь мы получим приведенную выше формулу:

Квадратура

Квадратура — построение квадрата, по площади равного данной фигуре. Исторически сложилось, что квадратом называется вторая степень числа, то есть число, умноженное на само себя. Схожесть этих терминов неслучайна — если возвести число во вторую степень, то есть умножить его на само себя, то мы найдем площадь квадрата, сторона которого выражается этим числом.

На следующем рисунке показано, как при возведении во вторую степень выражения (а + Ь) получается площадь квадрата со стороной а + Ь:

Здесь следует провести различие между площадью и поверхностью, так как эти понятия иногда путают. Поверхность — геометрический термин, площадь — величина, соответствующая этому геометрическому термину, то есть мера протяженности поверхности, выраженная в соответствующих единицах.

Кроме того, некоторые порой путают периметр и площадь. Их следует различать подобно тому, как различают окружность и круг. Периметр (от латинского perimetros, произошедшего от греческого это граница поверхности или фигуры, а также длина этой границы, а площадь — это мера, или численная характеристика, поверхности или фигуры, ограниченной периметром. Возникает вопрос: если задан определенный периметр, например дана веревка заданной длины, то каким будет прямоугольник наибольшей площади, который можно ограничить этой веревкой? Этот вопрос можно сформулировать и в более общем виде: как будет выглядеть фигура наибольшей площади, которую можно ограничить этой веревкой?

Ответом на первый вопрос будет квадрат, на второй вопрос — круг. Ответы на эти вопросы известны с глубокой древности и применяются в повседневной жизни множеством способов. В главе 1 мы упомянули, что традиционные жилища в самых разных культурах (у инуитов, североамериканских индейцев и аборигенов Кении) имели круглую форму — так обеспечивалась наибольшая площадь при минимальном расходе материала.