Читать «Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика» онлайн - страница 68

При измерениях в физическом мире используются рациональные числа, и результат измерений всегда является приближенным. В математических моделях, где измерения производятся при помощи вещественных чисел, формализация понятия «измерение» привела к появлению теории меры. В этом вопросе особую роль играют спрямление, квадратура и возведение в куб.

* * *

НЕКОТОРЫЕ АСТРОНОМИЧЕСКИЕ РАССТОЯНИЯ

Астрономическая единица, парсек и световой год — это единицы измерения, удобные для измерения расстояний в пределах Солнечной системы, Млечного Пути и в межзвездном пространстве соответственно. Они связаны следующими приближенными соотношениями: 1 парсек = 3,26 световых года = 206265 а.е. = 30875 миллиардов километров. Среднее расстояние от Земли до Солнца составляет около 150 миллионов километров и примерно равно одной астрономической единице (1 а.е.). Свет Солнца достигает Земли за 8,32 минуты, поэтому говорят, что Земля находится на расстоянии 8,32 световых минуты от Солнца.

Некоторые расстояния от Солнца.

_{Небесное тело · Примерное расстояние}

_{Венера · Менее 0,68 а.е.}

_{Земля · 1 а.е. = 8,32 световых минуты}

_{Юпитер · Более 5,2 а.е.}

_{Плутон · 39,5 а.е.}

_{Центр Млечного Пути · 8500 пк = 30 000 световых лет = 1753 миллиона а.е.}

Некоторые расстояния от Земли.

_{Небесное тело · Расстояние · Характеристика}

_{Луна · 0,0026 а.е. · Единственный естественный спутник Земли}

_{Проксима Центавра · 4,2 световых года = 270 000 а.е. · Ближайшая к Земле звезда}

_{Звезда Сириус · 8,6 световых года = 540 000 а.е. · Первый восход Сириуса над горизонтом перед рассветом, наблюдавшийся после долгого периода невидимости, знаменовал начало года в Древнем Египте}

_{Галактика Андромеды (М31) · 2,56 миллиона световых лет = 775 кпк · Наиболее удаленный от Земли объект, видимый невооруженным глазом}

* * *

Измерения в математических моделях

Спрямление

Исторически под спрямлением понималось построение прямой, длина которой равна длине данной кривой. Графическая интерпретация этого понятия, на основе которой определяется метод приближенного вычисления длины, может выглядеть так: разделим кривую на последовательность прямолинейных участков как можно меньшего размера, после чего найдем сумму их длин.

Разделение кривой на прямолинейные отрезки.

Похожий метод использовал некий преподаватель средней школы, когда объяснял ученикам, как измерить длину морского побережья. Он объяснял: «Чтобы произвести измерения, необходима карта побережья в масштабе, достаточно длинная нить и линейка. Нужно смочить нитку водой и проложить ее вдоль всего побережья на карте. Теперь достаточно вытянуть нить и измерить ее длину с помощью линейки.

Масштаб карты укажет, как следует пересчитать размер и найти искомую длину». С древних времен одной из самых известных задач подобного рода была задача о спрямлении окружности. Древнеегипетские математики верно определили формулу расчета длины окружности, согласно которой отношение площади круга к длине его окружности равно отношению площади квадрата, в который вписана окружность, к его периметру. Это соотношение выполняется в точности и равно r/2, где r — радиус окружности, но значение π, которое использовали египтяне, было приближенным (3,16 или 3 и 1/6).