Читать «Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика» онлайн - страница 69

Спрямление, квадратура и возведение в куб также описываются в классическом древнекитайском трактате о математике «Цзю чжан суань шу», или «Математика в девяти книгах», написанном в I веке. В первой книге, озаглавленной «Измерение полей», приведены расчеты значения π методом исчерпывания: в окружность вписывается шестиугольник, после чего его периметр сравнивается с длиной окружности; так получается значение π = 3. Далее проводятся аналогичные действия с многоугольниками, имеющими 12, 24, 48 и 96 сторон, и рассчитывается значение π = 3,1410240.

В древнеиндийской математике спрямление также рассматривалось для вычисления длины окружности. Ариабхата в главе II своей книги «Ариабхатия» (ок. 500 г.) приводит приближенное значение π = 3,1416. Он вычислил периметр правильного 384-угольника, вписанного в окружность, применив метод исчерпывания, аналогичный приведенному в китайском трактате «Математика в девяти книгах», но выполнил еще два шага: он также начал с шестиугольника и последовательно удваивал число его сторон (6, 12, 24, 48, 96, 192, 384), пока не получил 384-угольник.

* * *

КРОЛИК ПЕРЕСЕКАЕТ МЕРИДИАН

Приведем любопытную задачу об окружности и ее радиусе, которая отличается необычной формулировкой и, кроме того, послужит продолжением нашей истории о дуге меридиана. Напомним, что длина земного меридиана равна примерно 40000 км. Если представить, что Земля имеет форму идеальной сферы, то длина веревки, полностью опоясывающей Землю вдоль меридиана, составит эти же 40000 км. Если мы удлиним эту веревку на 1 метр, сможет ли кролик проползти под ней? Хотя 1 метр по сравнению с 40000 км может показаться ничтожной величиной, ответ на этот вопрос будет положительным. Удивительнее всего, что если мы увеличим длину окружности на 1 метр, ее радиус всегда будет увеличиваться на одну и ту же величину вне зависимости от радиуса исходной окружности. Подтвердить это помогут несложные расчеты.

Пусть r₁ — радиус исходной окружности. Длина окружности будет равна L₁  = 2πr₁. Если мы увеличим длину окружности на 1 метр, она будет равна L₂  = 2πr₁ + 1. Радиус полученной окружности будет равен r₂ = (2πr₁ + 1)/2π, то есть r₂ = r₁ + 1/2π

Нетрудно видеть, что при увеличении длины исходной окружности на 1 м ее радиус всегда будет возрастать на 1/2π м вне зависимости от размеров исходной окружности. Вернемся к на шей задаче и выразим эту величину в сантиметрах. Получим 100/2π см = 15,91549431 см. Этого расстояния будет достаточно, чтобы кролик смог проползти под веревкой.