Читать «Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика» онлайн - страница 72

Иоланда Гевара

«Эней рассказывает Дидоне о несчастьях Трои». Картина французского художника Пьер-Нарцисса Герена.

* * *

При спрямлении мы измеряли длину морского побережья при помощи смоченной нити, наложенной на карту. Аналогичным образом можно вычислять и площади поверхностей. Для этого нам потребуется прозрачный лист бумаги, разделенный на квадраты. Подсчитав число квадратов, покрывающих поверхность, и зная масштаб изображения, можно с хорошей точностью определить искомую площадь.

С древних времен одной из самых знаменитых задач о квадратуре была задача о квадратуре круга. Она заключается в том, чтобы с помощью циркуля и линейки построить квадрат, по площади равный данному кругу.

Площадь круга должна быть равна площади построенного квадрата.

Папирус Ахмеса (также известный как папирус Ринда по имени его владельца Генри Ринда, который приобрел его в 1858 году), обнаруженный при строительстве здания в Луксоре, был написан писцом по имени Ахмес примерно в 1650 году до н. э. и содержит информацию из периода 2000 год до н. э. — 1800 год до н. э. В задаче 48 площадь круга диаметром в 9 единиц принимается равной площади восьмиугольника, вписанного в квадрат с длиной стороны в 9 единиц, как показано на рисунке.

Фрагмент папируса Ахмеса и рассматриваемый восьмиугольник.

Площадь круга равна: 

Приближенное значение площади многоугольника принимается равным 64. В действительности оно составляет 63, так как площадь каждого квадрата равна 3 х 3 = 9, а многоугольник состоит из 5 целых квадратов и 4 половин — всего 7 квадратов площадью в 9 единиц каждый. В расчетах мы будем использовать значение площади в 64 единицы, так как 64 — квадрат (82). Кроме того, так мы сможем использовать только дроби с числителем, равным 1, подобно древним египтянам.

Так, ~= 64. Проведя необходимые расчеты и упростив выражение, получим:

Задача о квадратуре круга наряду с задачами об удвоении куба и трисекции угла принадлежала к числу трех классических задач древнегреческой математики. Задача о вычислении квадратуры плоских поверхностей, ограниченных кривыми, вызвала бы у греков довольно много трудностей, если бы Гиппократ Хиосский (ок. 470 г. до н. э. — ок. 410 г. до н. э.) не доказал, что возможно вычисление квадратуры определенных криволинейных фигур — двуугольников, построенных особым образом.

Площадь фигуры, выделенной серым цветом, равна площади треугольника АВС.

Для простоты примем АС = СВ = 1. Если мы покажем, что площадь двуугольника АВ, который дополняет треугольник AВС до сектора, составляющего четверть круга, равна сумме площадей двух двуугольников, которые дополняют треугольник до полукруга диаметром АВ, то мы докажем исходное утверждение. Достаточно заметить, что в малом круге сумма площади треугольника и площадей двух двуугольников равна площади полукруга, равно как и сумма площади двуугольника АВ и площади фигуры, выделенной серым цветом.