Читать «Teopeмa Гёделя» онлайн - страница 48

Но даже если бы на «счету» Гёделя не было ни одного из таких замечательных достижений, достаточно было бы одной его работы, чтобы имя ее автора составило целую эпоху в истории науки. Именно этой двадцатипятистраничной статье двадцатипятилетнего автора и посвящена книжка известного американского логика Э. Нагеля и опытного популяризатора науки Дж. Р. Ньюмена, переведенная на большинство европейских языков.

Среди довольно многочисленной к настоящему времени популярной литературы по математической логике книга Нагеля и Ньюмена выделяется своей «целенаправленностью». Не пытаясь дать общий очерк идей и методов математической логики, авторы строят изложение вокруг центральных, с их точки зрения, проблем этой науки — проблем непротиворечивости и полноты. Доказательство того факта, что для достаточно богатых математических теорий требования эти несовместимы, и есть то поразительное открытие Гёделя, которому посвящена книга. Не требуя от читателя по существу никаких предварительных познаний, авторы с успехом объясняют ему сущность одной из самых замечательных и глубоких теорем математики и логики.

Ю. А. Гастев

Примечания

1

Из этого определения немедленно вытекает, что аксиомы также причисляются к теоремам (доказательство каждой такой теоремы состоит из единственной формулы — из нее самой). — Прим. перев.

2

Именно обозначает, но не является формулой (является именем формулы); S, не принадлежащая алфавиту описываемого исчисления, относится к его метаязыку. — Прим. перев.

3

В тех случаях, когда нечего опасаться недоразумений, часть скобок в записях формулы опускают.

4

В Principia была еще аксиома «(p ˅ (q ˅ r)) ˅ (q ˅ (p ˅ r))» выводимая, однако, как установил П. Бернайс (1926), из остальных четырех аксиом. — Прим. перев.

5

Начиная отсюда, мы будем, как обычно, опускать кавычки при записях формул, напечатанных в отдельную строку. Нам, ведь, нужны не сами по себе кавычки, а уверенность в том, что не возникнет недоразумений (ср. с названием книги Рассела и Уайтхеда, всюду в настоящей книжке выделяемым не кавычками, а курсивом). — Прим. перев.

6

«Переводы» эти, разумеется, к самому исчислению не относятся. — Прим. перев.

7

Причем сказанное верно безотносительно к тому, входит ли в формулы S₁ и S₂ хоть одна общая переменная. — Прим. перев.

8

Конечно, еще более простой пример — формула, состоящая из одной-единственной переменной p. — Прим. перев.

9

Такое расширение можно произвести, просто присоединив эти недоказуемые предложения к арифметике в качестве новых аксиом. Поскольку мы считаем их истинными, то отрицания их не должны и не могут быть доказуемы в арифметике; значит, такое расширение непротиворечивой системы не может сделать ее противоречивой. — Прим. перев.