Читать «Teopeмa Гёделя» онлайн

1

Введение

В 1931 г. в одном из немецких научных журналов появилась сравнительно небольшая статья с довольно-таки устрашающим названием «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» («О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем»). Автором ее был двадцатипятилетний математик из Венского университета Курт Гёдель, впоследствии работавший в Принстонском институте высших исследований. Работа эта сыграла решающую роль в истории логики и математики. В решении Гарвардского университета о присуждении Гёделю почетной докторской степени (1952) она была охарактеризована как одно из величайших достижений современной логики.

Однако в момент опубликования ни название гёделевской работы, ни содержание ее ничего не говорили большинству математиков. Упомянутые в ее названии Principia Mathematica — это монументальный трехтомный трактат Алфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, посвященный математической логике и основаниям математики; знакомство с трактатом отнюдь не являлось необходимым условием для успешной работы в большей части разделов математики. Интерес к разбираемым в работе Гёделя вопросам всегда был уделом весьма немногочисленной группы ученых. В то же время рассуждения, приведенные Гёделем в его доказательствах, были для своего времени столь необычными, что для полного их понимания требовалось исключительное владение предметом и знакомство с литературой, посвященной этим весьма специфическим проблемам.

При всем этом подлинно революционный характер выводов, к которым пришел Гёдель, и их важнейшее философское значение ныне общепризнанны. Цель настоящего очерка состоит в том, чтобы сделать доступным для неспециалистов существо результата Гёделя и основную идею его доказательства.

Знаменитая работа Гёделя посвящена центральной проблеме оснований математики. Чтобы понять источник возникновения и характер этой проблемы, нам понадобятся некоторые предварительные рассмотрения. Каждый, кому приходилось преподавать элементарную геометрию, помнит, что геометрия строится как дедуктивная наука. Этим она отличается от экспериментальных наук, выводы которых приемлемы постольку, поскольку они согласуются с данными наблюдения и опыта. Идея о том, что любое верное утверждение может быть получено в качестве заключительного шага строгого логического доказательства, сформировалась еще в Древней Греции; именно греческим математикам принадлежит честь открытия так называемого «аксиоматического метода» и применения его для систематического изложения геометрии. Для аксиоматического метода характерно, что некоторые предложения — так называемые аксиомы или постулаты (примером может служить предложение, согласно которому через любые две точки можно провести одну и только одну прямую) — принимаются без доказательства; все же остальные предложения данной теории выводятся затем из этих аксиом. Можно сказать, что аксиомы образуют «базис» системы, в то время как теоремы, получаемые из аксиом при помощи одних только логических законов, — это «надстройка».