Читать «Излучение. Волны. Кванты» онлайн - страница 50

Ричард Фейнман

§ 7. Поле системы осцилляторов, расположенных на плоскости

Предположим, что имеется некоторая плоскость, которую заполняют осцилляторы, причем все они колеблются в плоскости одновременно, с одной амплитудой и фазой. Чему равно поле на конечном, но достаточно большом расстоянии от плоскости? (Мы не можем выбрать точку наблюдения очень близко от плоскости, потому что у нас нет точных формул для поля вблизи источников.) Пусть плоскость зарядов совпадает с плоскостью XY и нас интересует поле в точке Р, лежащей на оси z, достаточно далеко от плоскости (фиг. 30.10). Предположим, что число зарядов на единичной площадке равно n, а величина каждого заряда д. Все заряды совершают одинаковые гармонические колебания в одном и том же направлении, с той же амплитудой и фазой. Смещение заряда из его среднего положения описывается функцией x0coswt. Вводя комплексную амплитуду, действительная часть которой дает реальное движение, будем описывать колебание заряда функцией x0eiwt.

Чтобы найти поле, создаваемое всеми зарядами в точке Р, нужно вычислить сначала поле отдельного заряда q, а затем сложить поля всех зарядов. Как известно, поле излучения пропорционально ускорению заряда, т. е.. — w2x0еiwt (и одинаково для всех зарядов). Электрическое поле в точке Р, создаваемое зарядом в точке Q, пропорционально ускорению заряда q, нужно только помнить, что поле в точке Р в момент времени t определяется ускорением заряда в более ранний момент времени t' =t-r/c, где r/c — время, за которое волна проходит расстояние от Q до Р. Поэтому поле в точке Рпропорционально

(30.10)

Фиг. 30.10. Поле излучения осциллирующих зарядов, заполняющих плоскость.

Подставляя это значение ускорения в формулу для поля, создаваемого зарядом на большом расстоянии, получаем

Однако эта формула не совсем правильна, поскольку нужно брать не все ускорение целиком, а его компоненту, перпендикулярную линии QP. Мы предположим, однако, что точка Рнаходится от плоскости намного дальше, чем точка Qот оси z (расстояние r на фиг. 30.10), так что для эффектов, которые мы хотим учесть, косинус можно заменить единицей (косинус и так довольно близок к единице).

Полное поле в точке Р получается суммированием вкладов от всех зарядов в плоскости. Разумеется, мы должны взять векторную сумму полей. Но поскольку направление поля примерно одинаково для всех зарядов, в рамках сделанного приближения достаточно сложить величины всех полей. Кроме того, в нашем приближении поле в точке Рзависит только от r, следовательно, все заряды с одинаковым rсоздают равные поля. Поэтому, прежде всего, сложим поля всех зарядов в кольце шириной dr и радиусом r. Интегрируя затем по всем r, получаем полное поле всех зарядов.

Число зарядов в кольце равно произведению площади кольца, 2nrdr, на h— плотность зарядов на единицу площади. Отсюда