Читать «Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)» онлайн - страница 66

БСЭ БСЭ

  Векторы евклидова пространства обладают следующим свойством: существуют три линейно независимых вектора, любые же четыре вектора линейно зависимы. Это свойство характеризует трехмерность рассматриваемого множества векторов. В сочетании с перечисленными выше свойствами указанное свойство означает, что совокупность всех векторов евклидова пространства образует, так называемое, векторное пространство . Линейно независимые векторы e2 , e2 , e3 , образуют базис. Любой вектор а может быть единственным образом разложен по базису: а = Xe2 + Ye2 + Ze3 ; коэффициенты X, Y, Z называются координатами (компонентами) вектора а в данном базисе. Если вектор а имеет координаты X, Y, Z , то это записывают так: а = íX, Y, Z ý. Три взаимно ортогональных (перпендикулярных) вектора, длины которых равны единице и которые обычно обозначают так: i, j, k , образуют, так называемый ортонормированный базис. Если эти векторы поместить началами в одну точку О, то они образуют в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Координаты X, Y, Z любой точки М в этой системе определяются как координаты вектора ОМ (рис. 5 ). Указанным выше линейным операциям над векторами отвечают аналогичные операции над их координатами: если координаты векторов а и b равны соответственно íX1 , Y1 , Z1 ý и íX2 , Y2 , Z2 ý, то координаты суммы а + b этих векторов равны íX1 + X2 , Y1 + Y2 , Z1 + Z2 ý, координаты вектора la равны ílX1 + lY1 + lZ1 ý.

  Развитие и применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения векторов возникает, например, при рассмотрении работы силы F на заданном пути S : работа равна |F ||S |cosj, где j — угол между векторами F и S . Математически скалярное произведение векторов а и b определяется как число, обозначаемое (а , b ) и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

  (a , b ) = |a ||b |cosj.

  Величина |b |cosj называется проекцией вектора b на ось, определяемую вектором а , и обозначается прa b . Поэтому (a, b ) = |a |прa b . В частности, если a — единичный вектор (|a | = 1 ), то (а, b ) = прa b . Очевидны следующие свойства скалярного произведения:

  (а , b ) = (b , а ), (lа , b ) = l (а , b ),

  (а + b , с ) = (а , с ) + (b , с ), (a , а ) ³ 0,

  причём равенство нулю имеет место лишь при a = 0 . Если в ортонормированном базисе i, j, k векторы а и b имеют соответственно координаты íX1 , Y1 , Z1 ý и íХ2 , Y2 , Z2 ý, то     (a , b ) = X1 X2 + Y1 Y2 + Z1 Z2,

 

  Для определения векторного произведения векторов нужно понятие левой и правой упорядоченной тройки векторов. Упорядоченная тройка векторов а, b, с (а — первый вектор, b — второй, с — третий), приведённых к общему началу и не лежащих в одной плоскости, называется правой (левой), если они располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. На рис. 6 изображены справа — правая, а слева — левая тройки векторов.