Читать «Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)» онлайн - страница 67
БСЭ БСЭ
Векторным произведением векторов a и b называют вектор, обозначаемый [a, b ] и удовлетворяющий следующим требованиям: 1) длина вектора [a, b ] равна произведению длин векторов a и b на синус угла j между ними (таким образом, если a и b коллинеарны, то [a, b ] = 0 ); 2) если a и b неколлинеарны, то [a, b ] перпендикулярен каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a , b, [a, b ] является правой. Векторное произведение обладает следующими свойствами:
[a , b ] = — [b , а ], [(la ), b ] = l [a , b ],
[с , (a + b )] = [с , a ] + [с , b ], [a , [b , с ]] = b (a , с ) — с (a , b ),
([a , b ], [с , d ]) = (a , c )(b , d ) — (a , d )(b , c ).
Если в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, векторы a и b имеют соответственно координаты íX1 , Y1 , Z1 ý и íX2 , Y2 , Z2 ý, то [a, b ] = íY1 Z2 — Y2 Z1 , Z1 X2 — Z2 X1 , X1 Y2 — X2 Y1 ý. Понятие векторного произведения связано с различными вопросами механики и физики. Например, скорость v точки М тела, вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси l, равна [w, r ], где
Смешанным произведением векторов a, b и c называется скалярное произведение вектора [a, b ] на вектор с : ([a, b ], с ). Обозначается смешанное произведение символом abc . Смешанное произведение не параллельных одной плоскости векторов a , b и с численно равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a , b и с , взятому со знаком плюс, если тройка a , b и с правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы a , b и с параллельны одной плоскости, то abc = 0 . Справедливо также следующее свойство abc = bca = cab . Если координаты векторов a , b и с в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, соответственно равны íX1 , Y1 , Z1 ý, íX2 , Y2 , Z2 ý и íХ3 , Y3 , Z3 ý, то
Вектор-функции скалярных аргументов. В механике, физике, дифференциальной геометрии широко используется понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных аргументов. Если каждому значению переменной t из некоторого множества ít ý ставится в соответствие по известному закону определённый вектор r , то говорят, что на множестве ít ý задана вектор-функция (векторная функция) r = r (t ). Так как вектор r определяется координатами íx, y, z ý, то задание вектор-функции r = r (t ) эквивалентно заданию трёх скалярных функций: х = x (t ), y = y (t ), z = z (t ). Понятие вектор-функции становится особенно наглядным, если обратиться к так называемому годографу этой функции, то есть к геометрическому месту концов всех векторов r (t ), приложенных к началу координат О (рис. 7 ). Если при этом рассматривать аргумент t как время, то вектор-функция r (t ) представляет собой закон движения точки М, движущейся по кривой L — годографу функции r (t ).
