Читать «Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)» онлайн - страница 65

  Векторная алгебра. Вектором называют направленный отрезок (рис. 1 ), то есть отрезок, у которого указаны начало (называется также точкой приложения вектора) и конец. Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора a обозначается |a |. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными. Изображенные на рис. 1 векторы а и b коллинеарны и равны. В В. и. рассматриваются свободные векторы.

  В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Суммой а + b векторов а и b называют вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора а (рис. 2 ). Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов (рис. 3 ), источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу. Построение суммы нескольких векторов ясно из рис. 4 . Произведением aа вектора а на число a называется вектор, коллинеарный вектору а , имеющий длину, равную la l^. la l, и направление, совпадающее с направлением а при a > 0 и противоположное а при a < 0. Вектор —1 · а называется противоположным вектору а и обозначается —а . Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают следующими свойствами:

  1) а + b = b + a ,

  2) (a + b ) + c = a + (b + c ),

  3) а + 0 = а ,

  4) a + (-a ) = 0 ,

  5) 1 · a = a ,

  6) a (ba ) = (ab ) a ,

  7) a (a + b ) = aа + ab ,

  8) (a + b ) a = aa + ba .

  В векторной алгебре часто используется понятие линейно зависимых и линейно независимых векторов. Векторы a₁ , a₂ , ..., a _n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа a₁ , a₂ ,..., a_n из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация (a₁ a₁ +... + a_n a _n ) этих векторов равна нулю. Векторы a₁ , a₂ ,..., a_n , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Отметим, что любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми.