Читать «Большая Советская Энциклопедия (РИ)» онлайн - страница 105
БСЭ БСЭ
.
Если , то получается уравнение геодезических; т. о., геодезические можно определить как кривые, вдоль которых касательный к ним вектор переносится параллельно, т. е. развёртка геодезической — прямая, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точки А в точку В зависит, как правило, от кривой AB, вдоль которой происходит перенесение, — в этом отсутствии «абсолютного параллелизма» наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.
Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривой L в точке М оценивает её отклонение от геодезической L0, касающейся L в точке М, и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно перенесён в точку M' и образует там угол j с касательной к L в точке М, пусть s — длина дуги MM' кривой L. При стремлении M' к М существует предел
,
который и называется геодезической кривизной кривой L в точке М. Аналитически геодезическая кривизна кривой xI = xi (s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:
,
где
;
таким образом, геодезическая кривизна кривой L совпадает с (первой) кривизной её развёртки L, а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.
Для кривой L в римановом пространстве R определяются также вторая и т.д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.
Риманова кривизна. Пусть М — точка риманова пространства, F — двумерная поверхность xi = xi (u, u), проходящая через М, L — простой замкнутый контур на F, проходящий через М, s — площадь участка поверхности, ограниченного контуром L. Пусть произвольный вектор ai, касательный к поверхности F (т. е. линейно выражающийся через векторы ), перенесен параллельно по L.
Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к F, окажется повёрнутой по отношению к ai на угол j (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода L). При стягивании L в точку М существует предел
,
называется кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; К зависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке М, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы .
Риманова кривизна К связана с тензором кривизны формулой:
,
где
,
причём параметры u, u выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна 1.
В двумерном случае К совпадает с полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для области G, ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну k, справедлива так называемая формула Гаусса-Бонне:
,
в частности, для треугольника, образованного отрезками геодезических