Читать «Большая Советская Энциклопедия (РИ)» онлайн - страница 103
БСЭ БСЭ
(здесь коэффициенты суть функции координат), которое называется линейным элементом риманова пространства. Т. о., риманово пространство R можно аналитически определить как n-мерное многообразие, в котором в каждой точке задана дифференциальная квадратичная форма
(она называется также метрической формой, или просто метрикой, R и является по своему определению положительно определённой). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения метрической формы, однако её величина (вследствие своего геометрического смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат от xi к должна оставаться неизменной:
Это приводит к определённому закону преобразования коэффициентов gij как компонент дважды ковариантного тензора (см. Тензорное исчисление); он называется метрическим тензором риманова пространства.
Каждой точке А риманова пространства R сопоставляется так называемое касательное евклидово пространство EA, в которое отображается некоторая окрестность U точки А так, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке А. Аналитически это сводится к введению вблизи некоторой точки A0 пространства EA таких координат, что в них квадрат линейного элемента евклидова пространства EA выражается в точке A0 такой же формой , какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ds2 в точке А. Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.
Простейшие понятия римановой геометрии. 1) Длина дуги s кривой (i = 1, …, n, ) в римановом пространстве R определяется как интеграл
вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин «малым масштабом», как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространства R соединимы кривой, то R становится метрическим пространством: расстояние r(Х, Y) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства R.
2) Угол между двумя исходящими из одной точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.
3) Объём V n-мерной области G риманова пространства определяется по формуле:
где .
Геодезические. Линии, которые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По определению, они являются экстремалями функционала
(см. Вариационное исчисление) и удовлетворяют уравнениям:
,
где Гijk — так называемые Кристоффеля символы, выражающиеся через компоненты метрического тензора gij и их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, В достаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутреннему расстоянию r(А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (например, полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).