Читать «Большая Советская Энциклопедия (РИ)» онлайн - страница 104
БСЭ БСЭ
Представляет интерес (для описания периодических движений в механической задаче многих тел, например) оценка числа n замкнутых геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкаре в 1905 в связи с некоторыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: n ³ 2, если R односвязно.
Соприкасающееся пространство. Между римановым пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в окрестности U некоторой точки А можно установить такое соответствие, при котором оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки А геодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при котором длины дуг геодезических b соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты x1,..., xn и приписать их значения соответствующим точкам окрестности U, то между линейными элементами ds риманова и dso евклидова пространств будет такая связь:
+, где при
i = 1, …, n.
откуда следует, что разность ds — dso имеет порядок не ниже, чем
.
Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты Rmlki характеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана — Кристоффеля), определяемого по формуле
лишь через gik, и их производные до второго порядка.
Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).
Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение её окрестности UL в евклидово пространство EL при котором оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве EL называется развёрткой L' этой кривой на евклидово пространство (для поверхности F в евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к F вдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L, если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве EL, соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора ai вдоль кривой xi = xi (t) определяется дифференциальным уравнением