Читать «Квантовая механика II» онлайн - страница 130

Фиг. 19.1. Амплитуда перехода из а в b по пути r пропорциональна

Амплитуда того, что частица при наличии поля перейдет по некоторому пути из одного места в другое (фиг. 19.1), равна амплитуде того, что она прошла бы по этому пути без поля, умноженной на экспоненту от криволинейного интеграла от векторного потенциала, умноженного в свою очередь на электрический заряд и деленного на постоянную Планка [см. гл. 15, § 2 (вып. 6)]:

Это исходное утверждение квантовой механики.

И вот в отсутствие векторного потенциала уравнение Шредингера для заряженной частицы (нерелятивистской, без спина) имеет вид

где j — электрический потенциал, так что qj — потенциальная энергия. А уравнение (19.1) равнозначно утверждению, что в магнитном поле градиенты в гамильтониане нужно

каждый раз заменять на градиент минус (iq/h)А, так что (19.2) превращается в

Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом q (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле А, j.

Чтобы стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстрировать это простым примером, когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси x на расстоянии b друг от друга, и существует амплитуда —К того, что электрон перепрыгнет в отсутствие поля от одного атома к другому. Тогда, согласно уравнению (19.1), если имеется вектор-потенциал А_x(х, t) в x-направлении, то амплитуда перескока по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на exp[(iq/h)A_xb] — экспоненту с показателем, равным произведению iq/h на векторный потенциал, проинтегрированный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать (q/h) A_xєf(x), поскольку А_х, вообще говоря, зависит от х. Если обозначить через С(х)єС_nамплитуду того, что электрон обнаружится возле атома n, расположенного в точке х, то скорость изменения этой амплитуды будет даваться уравнением

В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке х, есть некоторая энергия Е₀. Это, как обычно, дает член Е₀С(х). Затем имеется член — КС(х+b), т. е. амплитуда того, что электрон от атома n+1, расположенного в х+b, отпрыгнул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии векторного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться согласно правилу (19.1). Если А_хна расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать попросту в виде значения А_хпосредине, умноженного на расстояние. Итак, произведение (iq/h) на интеграл равно ibf(x+b/2). А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже берется векторный потенциал с другой стороны от х, на расстоянии b/2, и умножается на расстояние b. Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке х.