Читать «Квантовая механика II» онлайн - страница 128

Прелестный результат. Он означает, что если среднее значение х меняется со временем, то перемещение центра тяжести равно среднему импульсу, деленному на массу т. Точно как в классической механике.

Другой пример. Какова скорость изменения среднего импульса состояния? Правила игры прежние. Оператор этой скорости равен

Опять все можно подсчитать в x-представлении. Напомним, что р^ обращается в d/dx, а это означает, что вам придется дифференцировать потенциальную энергию V (в), но только во втором слагаемом. В конце концов остается только один член, и вы получаете

или

Опять классический результат. Справа стоит сила, так что мы вывели закон Ньютона! Но помните — это законы для операторов, которые дают средние величины. Они не описывают в деталях, что происходит внутри атома.

Существенное отличие квантовой механики в том, что р^х^ не равно х^р^. Они отличаются на самую малость — на маленькое число h. Но все поразительные сложности интерференции волн и тому подобного проистекают из того небольшого факта, что х^р^-р^х^ не совсем нуль.

История этой идеи тоже интересна. С разницей в несколько месяцев в 1926 г. Гейзенберг и Шредингер независимо отыскали правильные законы, описывающие атомную механику. Шредингер изобрел свою волновую функцию y(х)и нашел уравнение для нее, а Гейзенберг обнаружил, что природу можно было бы описывать и классическими уравнениями, лишь бы хр-рх было равно h/i, чего можно было добиться, определив их с помощью особого вида матриц. На нашем теперешнем языке он пользовался энергетическим представлением и его матрицами. И то и другое — и матричная алгебра Гейзенберга и дифференциальное уравнение Шредингера — объясняли атом водорода. Несколькими месяцами позднее Шредингер смог показать, что обе теории эквивалентны — мы только что это видели. Но две разные математические формы квантовой механики были открыты независимо.

* Во многих книжках для используется один и тот же символ: физика в них одна и та же, да и удобнее все время обходиться без новых букв. А из контекста всегда ясно, что имеется в виду.

* Уравнение (18.38) не означает, что |a>=x|y> [ср. (18.35)]. Сокращать на <х| нельзя, потому что множитель х перед <x|y> для каждого состояния <х| имеет свое значение. Это — значение координаты электрона в состоянии |х> [см. (18.40)].

* Можно выразить это и иначе. Какую бы функцию (т. е. состояние) вы ни выбрали, ее всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний, являющихся состояниями с определенной энергией. Поскольку в этой комбинации присутствует примесь состояний с более высокими энергиями, то средняя энергия окажется выше энергии основного состояния.

* Элемент объема мы обозначаем dОбъем. Он попросту равен dxdydz, а интеграл берется от -Ґ до +Ґ по всем трем координатам.

Глава 19

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В КЛАССИЧЕСКОМ КОНТЕКСТЕ.

СЕМИНАР ПО СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

§ 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле

§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей

§ 3. Два рода импульсов

§ 4. Смысл волновой функции

§ 5. Сверхпроводимость