Читать «Квантовая механика II» онлайн - страница 127

§ 7. Изменение средних со временем

Теперь мы познакомим вас с еще одной интересной вещью: вы узнаете, как средние изменяются во времени. Представим на минуту, что у нас есть оператор А^, в который время явным образом не входит. Имеется в виду такой оператор, как х^ или р^.

[А исключаются, скажем, такие вещи, как оператор внешнего потенциала V(x, t), меняющийся во времени.] Теперь представим, что мы вычислили <A>_ср в некотором состоянии |y>, т. е.

Как <A>_ср будет зависеть от времени? Но почему оно вообще может зависеть от времени? Ну, во-первых, может случиться, что оператор сам явно зависит от времени, например, если он был связан с переменным потенциалом типа V(x, t). Но даже если оператор от t не зависит, например оператор А^=х^, то соответствующее среднее может зависеть от времени. Ведь среднее положение частицы может перемещаться. Но как может такое движение получиться из (18.76), если А от времени не зависит? Дело в том, что во времени может меняться само состояние |y>. Для нестационарных состояний мы часто даже явно отмечали зависимость от времени, записывая их как |y(t)>. Теперь мы хотим показать, что скорость изменения <A>_ср

дается новым оператором, который мы обозначим. Напомним, что это оператор, так что точка над А вовсе не означает дифференцирования по времени, а является просто способом записи

нового оператора, определяемого равенством

Задачей нашей будет найти оператор.

Прежде всего, нам известно, что скорость изменения состояния дается гамильтонианом. В частности,

Это всего-навсего абстрактная форма записи нашего первоначального определения гамильтониана

Если мы комплексно сопряжем это уравнение, оно будет эквивалентно

Посмотрим теперь, что случится, если мы продифференцируем (18.76) по t. Поскольку каждое y зависит от t, мы имеем

Наконец, заменяя производные их выражениями (18.78) и (18.80), получаем

а это то же самое, что написать

Сравнивая это уравнение с (18.77), мы видим, что

Это и есть то интересное соотношение, которое мы обещали; и оно справедливо для любого оператора А.

Кстати заметим, что, если бы оператор А сам зависел от времени, мы бы получили

Проверим (18.82) на каком-либо примере, чтобы посмотреть, имеет ли оно вообще смысл. Какой, например, оператор соответствует х? Мы утверждаем, что это должно быть

Что это такое? Один способ установить, что это такое — перейти в координатное представление и воспользоваться алгебраическим оператором

. В этом представлении коммутатор равен

Если вы подействуете всем этим выражением на волновую функцию y(х)и вычислите везде, где нужно, производные, вы в конце концов получите

Но это то же самое, что и

^{так что мы обнаруживаем, что}

или что