Читать «Квантовая механика II» онлайн - страница 123

где

и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |a>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |a>, чтобы было

Разложим сперва <y|a> по x-представлению:

Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)

Воздействие на |y> оператора х^ для получения |a> равнозначно умножению y (x)=<x|y> на х для получения a (х)=<x|a>. Перед нами определение оператора х^ в координатном представлении.

(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора х^. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что

Тогда вы сможете доказать поразительную формулу

т. е. что оператор х^ обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)

А может, вы хотите знать среднее значение x²? Оно равно

Или, если желаете, можно написать и так:

где

Под x^² подразумевается х^х^ — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x²>_ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение хⁿили любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.

§ 5. Оператор импульса

Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р)dp — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда

Обозначим теперь через <р|y> амплитуду того, что состояние |y> есть состояние с определенным импульсом |р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп.р|y>; она является функцией от р, как <x|y> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было

Тогда получится

что очень похоже на то, что мы имели для <x>_ср.

При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>_ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:

Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <y|b> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |b> определяется в импульсном представлении уравнением

Иначе говоря, теперь можно писать

причем

где оператор р^ определяется на языке p-представления уравнением (18.47).

[И опять при желании можно показать, что матричная запись р^ такова:

и что

Выводится это так же. как и для х.

Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать <р>_ср так, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл оператора р^ в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать р^ в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция y (x)и мы собираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что зададим <p>_cp уравнением (18.48), то это уравнение можно будет разложить по p-представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p-представление состояния, а именно амплитуда <p|y> как алгебраическая функция импульса p, то из (18.47) можно получить <p|b> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x-представлении, а именно волновая функция y (x)=<x|y>?