Читать «Квантовая механика II» онлайн - страница 122

§ 4. Оператор места

Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |y> каково среднее значение координаты х?Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией y (x), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем? Очевидно, ∫xP(x)dx, где Р(х)—вероятность обнаружить

электрон в небольшом элементе длины dx возле х. Пусть плотность вероятности Р(х)меняется с х так, как показано на фиг. 18.1.

Фиг. 18.1. Кривая плотности вероятности, представляющей локализованную частицу.

Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.

Мы видели раньше, что P(x)=| y (x)|²=y*(x) y(х), значит, среднее х можно записать в виде

Наше уравнение для <x>_ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя y оператор, а когда считаем среднее положение, ставим просто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х».)Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали