Читать «Квантовая механика II» онлайн - страница 120

Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно величин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться

где a_i—различные допустимые значения наблюдаемой величины, а Р_i — вероятность получения этого значения.

Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состоянию |y>. Его средняя энергия равна

А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:

Теперь будем рассматривать левое <y| как общий множитель.

Вынесем его за знак суммы и напишем

Это выражение имеет вид <y|j>, где |j> — некоторое «придуманное» состояние, определяемое равенством

Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние |h_i> в количестве

Е_i<h_i|y>.

Но вспомним теперь, что такое |h_i>. Состояния |h_i> считаются стационарными, т. е. для каждого из них

А раз Е_i—просто число, то правая часть совпадает с |h_i>Е_i, а сумма в (18.16) — с

Теперь приходится просуммировать по i общеизвестную комбинацию, приводящую к единице:

Чудесно, уравнение (18.16) совпало с

Средняя энергия состояния |y> записывается, стало быть, в очень привлекательном виде

Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на |y> оператором Н^ и затем умножьте на <y|. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только привлекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего говорить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно выразить наше состояние через какую угодно совокупность базисных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу Н_{ijдля этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энергию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний |i> средняя энергия может быть вычислена из}

где амплитуды <i|H|j> как раз и есть элементы матрицы H_ij. Проверим это на том частном примере, когда состояния |i> суть состояния с определенной энергией. Для них H^|j>=e|j>, так что <i|H^|j>=E_jd_ijи

что вполне естественно.

Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть L^_zесть оператор z-компоненты момента количества движения L. Средняя z-компонента для состояния |y> равна

Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту количества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина А связана с соответствующим квантовомеханическим оператором А^, то среднее значение А в состоянии |y> дается формулой

Под этим подразумевается

где

§ 3. Средняя энергия атома

Пусть мы хотим узнать среднюю энергию атома в состоянии, описываемом волновой функцией y(r); как же ее найти? Рассмотрим сперва одномерную задачу, когда состояние |y> определяется амплитудой <x|y>=y (x). Нас интересует частный случай применения уравнения (18.19) к координатному представлению. Следуя нашей обычной процедуре, заменим состояния |i> и |j> на |х>и |х'>и сумму на интеграл. Мы получим