Читать «Система Диофанта» онлайн - страница 18

Все — корни получены.

= Как-то это сложнее.

— Нисколько, дело практики.

+ + +

# В любом случае — решение КУ - это решение прямоугольного треугольника.

# таким значком я буду помечать упоминание КУ-треугольника

= Но графическое решение дает только приближенное решение!

— Ничего страшного. Точные значения совсем рядом, и тебе не составит труда за пару проверок их найти.

* * *

— О графическом решении КУ — пожалуй, все.

Но есть дополнение к анализу КУ.

+ + +

Я считал их совершенно банальными, однако надо поставить точку и над этим i.

— Разберем оставшиеся возможные варианты КУ.

{1}. Напиши уравнение в котором оба корня равны, но противоположны по знаку.

= Надо подумать, в чем подвох….. Так, если они равны и противоположны, то сумма будет равна нулю, значит b = 0. И уравнение будет:

x² + c = 0

— Нет, ошибка. Если знаки противоположны то произведение отрицательно.

x² - c = 0

— Т.к. решение уравнения элементарно, то обычно в заданиях его не используют.

= А графическое решение?

— Корни разнополые, и методику ты знаешь, НО

# треугольник КУ вырождается в отрезок (см. черную параболу)

{2}. А теперь напиши уравнение, в котором один из корней равен 0.

= Теперь меня не обманешь, с = 0, значит:

x² - bx = 0

— Как видишь, решение еще проще, делишь все на x, и получаешь ответ.

(голубая парабола)

^{= интересное название}

# треугольник опять превратился в отрезок

{3}. Теперь напишем уравнение в котором есть только одно решение и это решение 0.

x² = 0

= Тут решать нечего.

— Да, решать нечего, но подумать есть о чем.

Формула y = x² описывает параболу, вершина которой, находится в начале координат.

# треугольник уменьшится до точки (красная парабола)

А если вершина не в начале координат, то формула будет y = (x - h)² [почему минус? ... подставь значения х и h ... сообразишь].

Откроем скобки в уравнении (x - h)² = 0:

x² — 2hx + h² = 0

= Хе, хе, хе — опять то-же самое уравнение.

— Ты прав, структурно уравнение, обычное приведенное, НО ты можешь отчетливо видеть признак единственного решения уравнения [c = h²].

# напомню, треугольник все еще точка

Из этого варианта вытекает четвертый.

= Как? Еще и четвертый?

— Итак, вариант КУ НЕ ИМЕЮЩЕГО решения

Мы уже знаем формулу параболы «гуляющей» вершиной по оси ОХ:

y = (x — h)²

Добавим сюда еще смещение по оси ОУ

y = (x — h)² - d

т. е. «гуляем» по всему полю оси координат.

Я утверждаю, что такая формула правильнее выражает графическое изображение параболы. Смещение по оси ОХ — h, смещение по оси ОУ — d.

Откроем скобки:

и сравни с привычной формой уравнения

y = x² — 2hx + h² — d

x² — bx + c = 0

т. е. c — на самом деле состоит из двух частей c = h² — d

Отсюда: d = h² - c

= Погоди, погоди! Получается, что дискриминант…

— Совершенно верно. Нужен для вычисления смещения параболы по оси ОУ.

Если d — меньше нуля (парабола выше оси ОХ) — решения у уравнения нет.

Если d — равно нулю (вершина параболы лежит на оси ОХ) — решение единственное.

Если d — больше нуля (вершина параболы ниже оси ОХ) — обычные два ответа.