Читать «Числа: от арифметики до высшей математики» онлайн - страница 25

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу.

Если числитель и знаменатель дроби 1/3 умножить на 2, мы получим 2/6, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа 1/3 и 2/6 идентичны.

Сформулируем общее правило. Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется. Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби 126/189 на 63 и получить дробь 2/3, с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример.

Числитель и знаменатель дроби 155/31 можем разделить на 31 и получить дробь 5/1, или 5, поскольку 5 : 1 = 5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1. Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть 273/1 равно 273; 509993/1 равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на целые и дробные, поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: 15/1 + 15/1 = 30/1; 4/1 × 3/1 = 12/1.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби 1/3 на 5. Получим 5/15, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби 1/5 на 3. Получим 3/15, опять величина дроби не изменилась. Следовательно,

1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить 3 + 1/3 + 1¹/₄. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: 3/1 + 1/3 + 5/4. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем 36/12 + 4/12 + 15/12, что равно 55/12. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби, ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей:

55/12 = 48/12 + 7/12, или 4⁷/₁₂.

Дроби, меньшие нуля

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями, которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1 : 3, можно записать как ^-1/₃, а 1 : (-3) как ¹/_-3.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при делении положительного числа на отрицательное в результате мы получаем отрицательные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть (-1) : 3 = ^-1/₃ или 1 : (-3) = ¹/_-3. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.