Читать «Числа: от арифметики до высшей математики» онлайн - страница 24

Вернемся к сложению и умножению. Мы показали, чему равно 1/3 +1/3, также можно показать, что 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5, а 3/5 - 2/5 = 1/5.

Мы вывели общее правило. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями (знаменателем называется та часть дроби, которая записана под чертой) необходимо вычесть числитель одной дроби из числителя другой.

То же правило распространяется на умножение дроби на целое число. Умножается только числитель дроби. Произведение 1/7 на 6 равно 6/7; 18/23, деленное на 9, равно 2/23. Точно так же, как с яблоками: одно яблоко, умноженное на 6, — это 6 яблок, а 18 яблок, поделенных на 9, — это 2 яблока.

В процессе сложения может оказаться, что числитель достигнет величины знаменателя. Например, 1/3 + 1/3 + 1/3= 3/3, или 1/3 × 3. Чему равно 3/3?

Очевидно, если вы разделите единицу на три части, а потом сложите снова все эти три части, вы получите первоначальное число, то есть единицу. Другими словами, 3/3 = 1, и это выражение соответствует нашему определению дроби, то есть 3 : 3 = 1.

Точно так же 2/2, 4/4, 27/27, 109476/109476 равны единице.

А что, если нам надо 1/3 умножить на 4? Мы получим ответ 4/3, а что означает такое выражение? Дробь 4/3 может быть представлена в виде 1 + 1/3. или 1¹/₃, или одна целая и одна треть.

В школе учеников обычно приучают к тому, чтобы выделять максимально возможную целую часть из дроби. То есть превращать 4/3 в 1¹/₃, 27/5 в 5²/₅ и так далее. Однако делать это преобразование не всегда необходимо. На самом деле арифметические действия с 4/3 и 27/5 производить удобнее, чем с 1¹/₃ и 5²/₅.

По существу, в большинстве случаев стремление выделить целую часть дроби вызвано только природным консерватизмом, а не соображениями целесообразности.

Дроби, меньшие 1, то есть дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями. И наоборот, дроби, у которых числитель больше знаменателя, называют неправильными, то есть даже название этих дробей имеет оттенок неодобрения.

Тем не менее не следует забывать, что действия со всеми дробями производят по одним и тем же правилам. И с математической точки зрения и те и другие дроби равным образом правильные.

Знаменатель вступает в игру

Рассмотрим дробь 6/3. Ее величина равна 2, так как 6/3 = 6 : 3 = 2.

А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? 6/3 × 2 = 12/6. Очевидно, величина дроби не изменилась, так как 12/6 также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить 18/9, или на 27 и получить 162/81, или на 101 и получить 606/303. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что величина дроби не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби 120/60 (равной 2) разделить на 2 (результат 60/30), или на 3 (результат 40/20), или на 4 (результат 30/15) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.