Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 120

8

«Сложные взаимоотношения» обоих чисел восходят к одной древней проблеме, известной уже Пифагору. Пифагор предположил, что все в этом мире можно описать с помощью дробей, в которых числитель и знаменатель являются целыми числами (знаменатель, равный нулю, не рассматривается). Но уже геометрия показала ошибочность этого утверждения.

Если, например, построить на диагонали квадрата другой квадрат, для которого диагональ первого является стороной, то очевидно, что второй квадрат по площади в два раза превосходит первый. Допустим, что сторона первого квадрата равна х единиц длины — в данном случае не важно, что мы примем за такую единицу — метры, миллиметры или поперечный размер атома. После этого рассчитаем площадь первого квадрата в соответствующих единицах площади — квадратных метрах, миллиметрах или иных единицах. Для этого число единиц длины, составляющих сторону квадрата, надо умножить само на себя. Эту величину устно называют «икс-квадрат» и записывают так х². Если, например, х = 12, то х² = 144. Если у = 17, то у² = 289. Совершенно случайно 289 почти в точности равно удвоенному числу 144, то есть 288. Другими словами, у квадрата со стороной 12 см длина диагонали чуть-чуть меньше 17 см. То есть отношение диагонали квадрата к длине его стороны равно приблизительно 17/12. Однако греки задались вопросом: можно ли вообще выразить это отношение дробью вида x/y?

Будь это так, то у квадрата со стороной х единиц длины должна быть диагональ длиной у единиц. Площадь у² построенного на диагонали квадрата должна быть вдвое больше площади х² исходного квадрата. Это можно выразить формулой у² = 2х².

Говорят, что великому греческому философу Аристотелю принадлежит обоснование того факта, что не существует таких целых чисел х и у, для которых было бы справедливо равенство у² = 2х².

Допустим, однако, что такие числа существуют. Сначала Аристотель рассматривает случай, когда у — нечетное число. Тогда и у², будучи нечетным числом, при умножении само на себя дает в результате нечетное число. В таком случае невозможно равенство у² = 2х², потому что 2х², очевидно, делится на 2, то есть является четным числом.

Следовательно, у необходимо является четным числом, и у², то есть число у, умноженное само на себя, должно делиться на 4.

Но тогда, заключил Аристотель, х не может быть нечетным числом, ибо если оно является нечетным, то х², то есть число х, умноженное само на себя, является нечетным, и число 2х² делится на 2, но ни в коем случае не делится на 4, но оно должно делиться на 4, если верна формула у² = 2х².