Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 108

Коротко говоря, Гёдель указал на то, что в формальной математике Гильберта всегда прячется «ignoramus et ignorabimus».

Но и это был не самый сокрушительный удар. Гёдель, помимо того, смог доказать следующее: только «извне», то есть с позиции, находящейся вне формальной системы, можно доказать, что эта система непротиворечива, ибо утверждение «формальная система является логически непротиворечивой» — это такое утверждение, относительно которого — находясь внутри системы — принципиально невозможно сказать, истинное оно или ложное.

Метафорически эти идеи Гёделя представил учившийся у Гильберта французский математик Андре Вейль, брат философа и мистика Симоны Вейль: «Бог существует, потому что математика непротиворечива, а дьявол существует, потому что мы не в состоянии этого доказать».

Мало того, сенсационно выглядело и то, как прозрение Гёделя стало достоянием математического сообщества: с 5 по 7 сентября 1930 г. в Кёнигсберге, городе, где родились Кант и Гильберт, состоялся шестой съезд немецких физиков и математиков, в котором приняли участие и выступили Рудольф Карнап как представитель Венского кружка, Аренд Гейтинг, ученик Брауэра, и Джон фон Нейман как представитель программы Давида Гильберта. Было предпринято много усилий для того, чтобы привлечь к участию в съезде представителей молодого поколения математиков. Этого хотели все, главным образом потому, что хотелось избежать ожидавшегося спора между приверженцами Брауэра и присутствовавшим на съезде Гильбертом. Молодые представители обеих школ, выступая, говорили обтекаемо и уклончиво. Принял участие в съезде и Гёдель, который изложил тезисы своей диссертации, чем снискал благосклонное одобрение участников. В конце заседания Гёдель попросил слова и объявил о своем последнем открытии, каковое будет опубликовано в его докторской диссертации: формальные системы, основанные на арифметических операциях с числами, необходимо являются неполными.

На тех, кто понимал, о чем идет речь, это заявление произвело эффект разорвавшейся бомбы. Сам Гильберт в этой дискуссии участия не принимал, потому что как раз в это время ехал в студию выступать с обращением, в котором он и сформулировал свое кредо: «Мы должны знать, и мы будем знать!» Однако Бернайс и фон Нейман прекрасно осознали важность заявления Гёделя: программа Гильберта в том виде, в каком она представлялась своему создателю, была безнадежно обречена. Лозунг «Мы должны знать, и мы будем знать!» оказался попросту несостоятельным. Несколько месяцев они не смели оповестить Гильберта о случившемся, боясь расстроить учителя и наставника.

До конца своих дней Гильберт отказывался признать важность теоремы Гёделя о неполноте.

Принстонские призраки

Сам Гёдель находил свое открытие чрезвычайно воодушевляющим. Он был твердо убежден в том, что математика, даже та, что позволяет выполнять расчеты с числами с бесконечным десятичным представлением, является непротиворечивой. С такой точки зрения программа Гильберта — это не более чем ненужное упражнение на усидчивость. Математика ничего не потеряет оттого, что признает это упражнение невыполнимым.