Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 109

Выигрыш, наоборот, очень велик, ибо если существует высказывание, о котором можно утверждать, что внутри логической системы, в какой оно было сформулировано, оно не может быть ни доказано, ни опровергнуто, то это высказывание можно считать возможной новой аксиомой. Это означает, что можно словно декретом объявить это высказывание имеющим силу, а значит, обогащающим существовавшую систему ровно на это высказывание. Обогащенная на данное высказывание система остается непротиворечивой. Можно, однако, точно так же распорядиться, что верным является отрицание данного высказывания. Тогда мы получим из существовавшей системы новую расширенную, но другую систему, которая точно так же является непротиворечивой.

Таким образом, не возникает никаких затруднений относительно высказываний, о которых точно известно, что внутри логической системы, в которой они сформулированы, их невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Их существует множество — и в каждой обогащенной системе ровно столько, сколько было и раньше, то есть бесконечное множество.

По этой причине, полагал Гёдель, существует безмерное число самых разнообразных возможностей играть с математикой. Если не считать арифметического ядра, которое обладает законной силой во всех вариациях, то можно утверждать, что в одних математических играх законны высказывания, каковые являются ложными в других играх, и наоборот. Однако каждое из прочтений математики, если опираются исключительно на него, является непротиворечивым. При этом существует полная свобода выбора того или иного варианта. Об этом догадывался уже Кантор, сказавший однажды: «Сущность математики заключается в ее свободе».

Именно свобода порождает ощущение всемогущества.

Всемогущества, которое угнетало Гёделя, ибо он был убежден в том, что все, что не противоречиво, на самом деле существует, то есть буквально имеется в наличии. Не абстрактно, а конкретно, в осязаемой реальности. Он был убежден в том, что существует неизмеримое множество непротиворечивых в себе «миров»; что есть «мультивселенная», несоизмеримо более многообразная, чем та, которую описывает в высшей степени спекулятивная космология. Каждым таким миром управляет какая-то одна из бесконечного множества непротиворечивых математических систем. Поскольку Гёдель знал обо всех этих мирах, они уживались в его сознании. Каждый из этих миров существует, когда человек перемещается в него, но тотчас исчезает, когда человек его покидает. Это миры-призраки.

Гёдель, величайший логик ХХ столетия, всерьез верил в привидения.

Такой же причудливой была и его жизнь. Его вечно преследовал страх — он боялся, что его больное сердце может в любую минуту остановиться, еда может нанести ему непоправимый вред, а нервная система может просто отказать. Врачам, с их абсолютно нелогичными диагнозами, вообще нельзя доверять. Какая бы жара ни стояла, он всегда очень тепло одевался, потому что угроза простуды всегда, словно дамоклов меч, нависала над его головой. Ко всему этому присоединились психоз и депрессия. Первый нервный срыв случился у Гёделя после того, как в главном здании университета был убит любимый Гёделем профессор Мориц Шлик. Гёдель сделал вывод: нигде нельзя быть уверенным в незыблемости собственного бытия.