Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 104
Рудольф Ташнер
Самодостаточная непоколебимая достоверность, отражающая математическую суть вещей, была самым главным в глазах Пуанкаре. Логика служила лишь для того, чтобы доказать другим, что его озарение было верным и несомненным.
Мы хорошо знакомы с числами и счетом, производимым с их помощью. Для нас нет ничего более очевидного, чем тот факт, что шестью семь равно сорока двум. Мы также на сто процентов уверены в том, что существует бесконечное множество чисел 1, 2, 3, 4, 5,…. Во всяком случае, в том смысле, что в этом ряду не существует последнего числа. К каждому числу, сколь велико бы оно ни было, мы можем, по крайней мере мысленно, добавить еще единицу и получить число еще большее. Большего из бесконечного мы извлечь не можем — даже с помощью формально-логических аксиом.
Воспользуемся десятичным числом
для того, чтобы показать разницу между понятиями Гильберта, с одной стороны, и понятиями Пуанкаре — с другой. Что означают три точки после невероятно длинной последовательности цифр? Ответ Гильберта был бы таким: «Это десятичное представление числа π. После целочисленной части 3 следует бесконечное множество десятичных разрядов. Я выписал первые тридцать пять цифр, а за ними следует бесконечная последовательность остальных цифр. Естественно, мне не удастся их записать. Но мои аксиомы позволяют мне помыслить, что они даны и существуют. Я мыслю это следующим образом: с помощью моих аксиом можно принципиально решить о каждом утверждении относительно десятичных разрядов числа π, является оно верным или нет».
Пуанкаре был бы куда более осторожным:
«Это десятичное представление числа π. За целочисленной частью 3 следуют 35 десятичных разрядов. Но ими десятичная запись этого числа не исчерпывается. Существуют способы вычисления 350, 3500 и вообще сколь угодно большого числа знаков числа π после запятой. Сколь угодно большое, но всегда конечное! Представление о том, что якобы существуют аксиомы, с помощью которых можно было бы разделить все утверждения относительно десятичных разрядов числа π на истинные и ложные, диаметрально противоречит самой сущности бесконечного».
Гильберт умер в 1943 г., а Пуанкаре скончался в возрасте 58 лет незадолго до начала Первой мировой войны. Это в значительной мере привело к тому, что в Париже в 1920-х гг. математика не пережила того расцвета, какой она пережила в Гёттингене. Кроме того, война скосила множество молодых математических талантов, а немногие молодые французские интеллектуалы, решившие посвятить себя математике, чувствовали себя брошенными на произвол судьбы. Старые университетские профессора были лишены порыва и страсти Пуанкаре; они преподавали математику по солидным, но давно устаревшим учебникам середины XIX в.
Наука, построенная на песке
Итак, именно поэтому не в Париже, а в Цюрихе и Амстердаме нашлись два математика мирового уровня, которые развили наследие Анри Пуанкаре. В Амстердаме это был Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр, который уже в написанной в 1907 г. докторской диссертации «Об основах математики» и в вышедшей в следующем году работе «Ненадежность логических принципов» в весьма самоуверенном тоне подверг сомнению пользу математики, опирающейся исключительно на формальные аксиомы. В Цюрихе это был Герман Вейль, опубликовавший в 1908 г. книгу, где уже в предисловии можно было прочесть следующее: «В этой работе речь идет не о “непоколебимой скале”, на которой зиждется здание математического анализа, не о формализме, обставленном деревянными бутафорскими декорациями и призванном убедить читателей, а прежде всего самих себя в том, что это и есть фундамент. В этой работе я отстаиваю скорее мнение о том, что это здание, в существенной своей части, построено на песке».
