Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 45

- 70 -

Как видно, умножение двоичных чисел сводится к сложению чисел, образованных сдвигом влево первого сомножителя. Поразрядное сложение осуществляется в соответствии с таблицей

причем в случае x₁ = x₂ = 1 образуется единица переноса в старший разряд. Операция, задаваемая этой таблицей, называется сложением по модулю 2. Если при сложении перенос не учитывается, то эта операция вместе с операцией умножения определяет на множестве двоичных чисел арифметику по модулю 2.

Задачи и упражнения

1. Подстановкой в формулу a ∨ b переменных запишите новые формулы и упростите их, если это возможно: а) a = x̅y, b = z. б) a = xy, b = xy̅; в) a = x, b = xy; г) a = x, b = x̅y; д) a = xy, b = c ∨ d, c = xz, d = yz̅.

2. Запишите таблицы соответствия для следующих формул: а) xx̅; б) xy ∨ x̅; в) (p ∨ q)(p̅ ∨ q̅); г) x̅∨̅y̅.

3. Проверьте с помощью таблиц соответствия следующие тождества: а) x̅∨̅y̅ = x̅ y̅; б) x ( x ∨ y) = x; в) x ∨ x̅ y = x ∨ y.

4. Постройте переключательные схемы для обеих частей приведенных ниже тождеств и убедитесь в том, что эти схемы функционируют одинаково:

а) xy∨x̅y∨x̅y̅=y ∨ x̅y̅

б) (x∨y)(x∨z) = x ∨ yz;

в) xyz∨xyz̅∨xy̅ = x.

5. Упростите следующие формулы:

а) x̅yz∨xy̅z̅∨xyz̅;

б) xy∨z∨x̅y̅∨̅z̅(zv∨x);

в) xy̅z̅∨xyz̅∨x̅yz∨xyz;

г) (x∨y)(x̅y̅∨z)∨z̅∨(x∨y)(u∨v).

6. Комитет, состоящий из трех членов, принимает решения большинством голосов. Постройте такую схему, чтобы голосование каждого члена комитета производилось нажатием своей кнопки и чтобы лампочка загоралась, если и только если решение принято. Какое наименьшее количество ключей необходимо?

7. Постройте схему освещения так, чтобы лампочка могла независимо включаться и выключаться двумя выключателями.

- 71 -

8. Преобразуйте формулы к такому виду, чтобы операция отрицания применялась только к логическим переменным:

9. Убедитесь с помощью таблиц соответствия в справедливости выражений для импликации и эквиваленции:

а) x₁→ x₂ = x̅₁∨x₂;

б) x₁ ∼ x₂ = x₁x₂∨ x̅₁x̅₂ = (x₁∨x̅₂)(x̅₁∨x₂);

в) x₁ ∼ x₂ = ( x₁→ x₂ )( x₂→ x₁ ).

10. Постройте переключательные схемы для импликации и эквиваленции в соответствии с тождествами, приведенными в задаче 9.

11. Запишите формулу, соответствующую переключательной схеме рис. 25. Упростите эту формулу и постройте более простую схему.

Рис. 25. Граф переключательной схемы к задаче 11.

12. Постройте переключательные схемы по формулам:

а)(x₁ ∨ x₂x̅₃)(x₁x₂ ∨ x₃x₄)

б) (x̅₁ (x₂ ∨ x̅₃) ∨ x̅₄)x₁.

13. Из простых высказываний x₁ - «испытания проведены» и x₂ - «программа выполнена» образуйте сложные высказывания по формулам а) x₁∨x̅₂; б) x₁x₂; в) x₁→ x₂ ; г) x₁ ∼ x₂.

14. Запишите формулы для следующих высказываний, обозначив буквами входящие в них простые высказывания:

а) Давление падает и система не работает.

б) Вычисления выполнены точно или конструкция несовершенна.

в) Проект разработал Андрей или Петр, а эксперимента выполнил Иван.

г) Если будет хорошая погода, мы отправимся на стадион или пойдем за грибами.

д) Программа может быть выполнена, если и только если материалы поступят своевременно.