Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 44

Так как предикаты способны принимать только значения 0 и 1, то их, как и булевы переменные, можно связывать логическими операциями. В результате получаем формулы, определяющие более сложные предикаты. Так, если Р(х) означает «х - инженер», а Q(х) - «x - сотрудник нашего отдела», то Р(х) ∧ Q(х) = R(х) есть одноместный предикат «х - инженер и сотрудник нашего отдела» или проще «х - инженер нашего отдела». Очевидно, если Р - множество инженеров, а 0 - множество сотрудников данного отдела, то этот предикат соответствует пересечению Р ∩ Q. Таким образом, имеет место тесная связь между логикой предикатов и операциями над множествами.

10. Двоичная арифметика. В позиционной системе счисления с основанием m любое целое неотрицательное число a записывается последовательностью различных цифр x₁x₂ ... x_n, что означает a = x₁m^n-1 + x₂m^n-2 + ... + x_nm⁰. Десятичная система использует цифры 0, 1, ..., 9, например: 2907 = 2·10³ + 9·10² + 0·10¹ + 7·10⁰. Для двоичной системы счисления достаточно двух цифр, которые обозначаются 0 и 1. При этом последовательность x₁x₂ ... x_n таких цифр является записью двоичного n-разрядного числа x₁·2^n-1 + x₂·2^n-2+ ... + x_n·2⁰.

Перевод целых десятичных чисел в двоичные осуществляется последовательным делением исходного числа и каждого частного на два. Получаемые при этом остатки (0 или 1), записанные в обратном порядке, и дают представление десятичного числа в двоичной системе счисления. Например:

Действительно, проверяя полученный результат, получаем 1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 16 +8+2 = 26.

Дробное число переводится в двоичную систему счисления методом последовательного умножения на два. При этом каждый раз

- 69 -

после запятой двоичного числа записывается 0 или 1 соответственно целой части результата умножения. Последовательное умножение продолжается до тех пор, пока дробная часть не обратится в нуль или пока не получим требуемое количество двоичных знаков после запятой. Например, двоичное представление числа 0,3125 получается следующим образом:

Проверка полученного результата дает: 0·2^-1 + 1·2^-2 + 0·2^-3 + 1·2^-4 = 1/4 +1/16 = 5/16 = 0,3125.

Если число является смешанным, т.е. его целая и дробная части отличны от нуля, то оно переводится в двоичную систему раздельно: целая часть- последовательным делением, а дробная — последовательным умножением.

Арифметические операции над числами сводятся к операциям сложения и умножения одноразрядных чисел. В двоичной системе счисления умножение задается таблицей конъюнкции: 0·0=0; 1·0=0; 0·1=0 и 1·1=1. Сложение выполняется по правилу: 0 + 0 = 0; 1+0=1; 0+1=1 и 1+1=10 (10 — это двоичное число, соответствующее десятичному числу 2). Операции над двоичными числами выполняются по правилам, аналогичными для десятичных чисел, но эти правила предельно упрощаются (особенно для умножения). Например, десятичные операции 41 + 27 = 68 и 41·5= 205 выглядят следующим образом: