Читать «Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика» онлайн - страница 73

Радиус большого круга равен 1, следовательно, его площадь равна π. Площадь сектора в четверть круга равна π/4. Диаметр меньшего круга равен √2, радиус — √2/2, площадь — 1/2π. Половина малого круга вновь будет иметь площадь π/4.

Иными словами, половина малого круга и четверть большого круга имеют равную площадь. Таким образом, можно утверждать, что сумма площадей двух двуугольников равна площади большого двуугольника. Отсюда следует, что площадь треугольника равна площади фигуры, выделенной серым цветом.

В 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман (1852–1939) доказал, что число π является трансцендентным, поэтому решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки невозможно. Возможно, именно после многовековых попыток решить эту задачу и возникло выражение «квадратура круга», которое в обычном языке употребляется в переносном смысле и означает нечто очень сложное.

Задачами о квадратуре занимался Евдокс Книдский. Он применил геометрический метод, в котором по мере выполнения вычислений точность результата постепенно повышалась. Метод Евдокса был схож с теми, что использовали индийцы и китайцы для вычисления длины окружности и площади круга путем последовательного построения многоугольников. Позднее подобный метод применил Архимед для вычисления площади фигуры, ограниченной дугой параболы, и объема шара. Евклид привел все эти результаты в книге XII своих «Начал» (ок. 300 г. до н. э.). В XVII веке Грегуар де Сен-Венсан (1584–1667) назвал этот метод методом исчерпывания.

Задачи о квадратуре поверхностей, ограниченных кривыми, были окончательно решены с появлением дифференциального исчисления. Интегрирование — математическая операция, позволяющая вычислять площади плоских фигур, ограниченных кривыми, если известны уравнения этих кривых. Рассмотрим пример. Пусть дана кривая — график функции f(x) = √x. Чему будет равна площадь фигуры, ограниченной этой кривой и горизонтальной осью координат на интервале от 0 до 1?

На языке математики ответ записывается так:

Следующий рисунок иллюстрирует геометрический метод вычисления искомой площади, который завершается переходом к пределу. Суть этого метода заключается в построении последовательности прямоугольников, как в ранее приведенном примере с картой и листом бумаги, разделенном на квадраты. Вычислив сумму площадей построенных прямоугольников, можно найти приближенное значение площади фигуры. Площадь этой фигуры можно покрыть прямоугольниками сверху или снизу (полученная площадь будет соответственно больше или меньше искомой площади фигуры).