Читать «Для юных математиков. Веселые задачи» онлайн - страница 53

Решение задачи № 42

Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 часов, когда обе стрелки совпадают. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга, – тогда обе стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на 11/12 полного круга; чтобы обогнать ее всего на 1/2 круга, понадобится меньше времени, чем целый час, – меньше во столько раз, во сколько 1/2 меньше 11/12, т. е. потребуется всего 6/11 часа. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя 6/11 часа, или 32 8/11 минуты. Взгляните на часы в 32 8/11 минуты первого, и вы убедитесь, что стрелки направлены в противоположные стороны.

Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 32 8/11 минуты после каждой встречи. А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение двенадцати часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:

12 ч. + 32 8/11 мин. = 12 ч. 32 8/11 мин.

1 ч. 5 5/11 мин. + 32 8/11 мин. = 1 ч. 38 2/11 мин.

2 ч. 10 10/11 мин. + 32 8/11 мин. = 2 час. 43 7/11 мин.

3 ч. 16 1/11 мин. + 32 8/11 мин. = 3 ч. 49 1/11 мин. и т. д.

Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.

Решение задачи № 43

Если начать следить за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стречка проходит 1/12 того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется для искомого расположения. На какой бы угол ни отошла от XII минутная стрелка, часовая повернется на 1/12 этого угла, а не на 1/2, как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у XII, часовая – у 1, на 1/12 полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа. Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры XII на долю оборота, которую мы обозначаем через х. Минутная стрелка успела за то же время пройти в 12 раз больше, т. е. 12·x. Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12·x-1 должен быть вдвое больше, чем х, т. е. равняться 2·x. Мы видим, следовательно, что 12·x-1 = 2·x откуда следует, что 1 целый оборот равен 10·x (действительно: 12·x-10·x = 2·x). Но если 10·x = целому обороту, то одно X = 1/10части оборота. Вот и решение задачи: часовая стрелка отошла от цифры XII на 12/10 полного оборота, на что требуется 12/10 часов, или 1 час 12 мин. Минутная стрелка при этом будет вдвое дальше от XII, т. е. на расстоянии 1/5 оборота; это отвечает 60/5 = 12 минутам, – как и должно быть.

Мы нашли одно решение задачи. Но есть и другие: стрелки в течение двенадцати часов располагаются таким же образом не один раз, а несколько. Попытаемся найти остальные решения.

Для этого дождемся двух часов; минутная стрелка стоит у XII, а часовая – у II. Рассуждая по предыдущему, получаем равенство

12·x-2 = 2·x

откуда 2 целых оборота равны 10·x и, значит, x = 1/5 целого оборота. Это соответствует моменту 12/5 = 2 ч. 24 м.

Дальнейшие моменты вы легко вычислите сами. Тогда вы найдете, что стрелки располагаются согласно требованию задачи в следующие 10 моментов:

в 1 час 12 мин.

в 2 » 24 »

в 3 » 36 »

в 4 » 48 »

в 6 часов

в 7 » 12 »

в 8 » 24 »

в 9 » 36 »

в 10 » 48 »

в 12 часов.