Читать «Цифровая стеганография» онлайн - страница 86

В работе [3] доказывается, что произвольные детерминированные преобразования не увеличивают ОЭ между двумя распределениями.

Лемма 1: Пусть Р_Qc и Р_Qs описывают вероятностные распределения контейнеров и стего, соответственно, над множеством наблюдений Q. Детерминированное отображение f преобразует множество наблюдений Q в множество наблюдений T вида

,

где q_c, q_s Q, t_c, t_s T. Тогда справедливо выражение

.

Так как различение между гипотезами H_C и H_S есть частная форма преобразования, вероятности ошибок α и β удовлетворяют неравенству

. (4.5)

Это соотношение может использоваться в следующем виде: пусть δ есть верхняя граница и задана верхняя граница вероятности α. Тогда выражение (4.5) дает нижнюю границу вероятности β. Например, при α = 0 значение ошибки .

Используя эту лемму, в работе [3] доказывается следующая теорема.

Теорема 2: Если стегосистема является ε-стойкой против пассивного нарушителя, то вероятность β необнаружения факта скрытой связи и вероятность α ошибочного установления факта скрытой связи удовлетворяют неравенству . В частном случае, если α = 0, то .

Пусть Алисе разрешается передать Бобу цифровое изображение С. Используя модель чувствительности зрения, она может сформировать множество С эквивалентных изображений, которые визуально неразличимы от исходного С. Независимо от того, активна Алиса или нет, она передает выбранное изображение из множества С. Пусть Алиса и Боб заранее договорились, какой модификации изображения соответствует каждое из скрываемых сообщений. Формально это означает, что в стегосистеме каждому из изображений С_j, где j=1,2,…, |C|, по секретному ключу ставится в соответствие или одно из скрываемых сообщений М_j, где j=1,2,…, N, и N < |C|, или отсутствие скрываемого сообщения для |C|—N случаев. Если данное соответствие построено равновероятно и независимо для множества контейнеров и скрываемых сообщений, то при неразличимости распределений контейнеров и стего нарушитель Ева, наблюдая за информационным обменом между Алисой и Бобом, потенциально не способна получить больше той информации, которой обладала априори. Так как по определению Еве известны статистические характеристики всех множеств, входящих в стегосистему, то она априори знает, что вероятность активного состояния Алисы равна N/|C|, а вероятность отсутствия передачи скрываемой информации равна (|C|—N)/|C|. Активное и пассивное состояния Алисы составляют полную группу событий, следовательно,

.

Таким образом, если Алиса собирается передавать N скрываемых сообщений под прикрытием |C| контейнеров, то вероятность того, что Ева угадает, что произвольный контейнер содержит вложенную информацию не может быть меньше величины N/|C|. Если стегосистема совершенна, то вероятность угадывания нарушителем факта передачи скрываемого сообщения строго равна этой величине.

Из этого следует, что вероятность пассивного состояния Алисы должна быть во много раз больше вероятности ее активного состояния, и что используемых контейнеров с учетом их модификаций должно быть во много раз больше скрываемых сообщений. Перефразируя известную поговорку, можно сказать, что иголку более надежно можно спрятать от чужих глаз в большом стоге сена, чем в маленьком.