Читать «Цифровая стеганография» онлайн - страница 84

Метод нахождения оптимального решения задается теоремой Неймана-Пирсона. Правило решения зависит от порога Т. Переменные α и β зависят от Т. Теорема устанавливает, что для некоторого заданного порога Т и допустимой максимальной вероятности β, вероятность α может быть минимизирована назначением такой гипотезы Н_С для наблюдения q Q, если и только если выполняются

(4.2)

Основным инструментом для различения гипотез является относительная энтропия (ОЭ) или различимость между двумя распределениями вероятностей P_С и P_S, определяемая в виде

(4.3)

Относительная энтропия между двумя распределениями всегда неотрицательна и равна 0, если и только если они неразличимы (совпадают). Хотя в математическом смысле ОЭ не является метрикой, так как она не обладает свойством симметричности и свойством треугольника, полезно ее использовать в качестве расстояния между двумя сравниваемыми распределениями. Двоичная относительная энтропия d(α,β) определяется как

Используем относительную энтропию D(Р_с || Р_s) между распределениями Р_с и Р_s для оценки стойкости стегосистемы при пассивном противнике. В работе [3] дано следующее определение: стегосистема называется ε-стойкой против пассивного нарушителя, если

Если ε = 0, то стегосистема является совершенной.

Если распределения контейнера и стего одинаковы, то , и такая стегосистема является совершенной. Это означает, что вероятность обнаружения факта передачи скрываемой информации не изменяется от того, наблюдает нарушитель информационный обмен от Алисы к Бобу или нет. Пассивный нарушитель, обладающий произвольно большими ресурсами и владеющий любыми методами стегоанализа, не способен обнаружить факт использования совершенной стегосистемы.

Рассмотрим условия обеспечения стойкости стегосистем. Известно соотношение между энтропией, относительной энтропией и размером алфавита |X| для произвольных случайных переменных S и С. Отметим, что контейнеры С и стего S принадлежат одному и тому же алфавиту Х. Если переменная S равновероятно и независимо распределена, то

. (4.4)

Если переменная С является равновероятно и независимо распределенной, то, как известно из теории информации [10], выполняется равенство и тогда . Следовательно, если в качестве контейнеров С использовать случайные последовательности и скрываемые сообщения будут описываться также случайными последовательностями, то сформированные стего S не будут иметь никаких статистических отличий от пустых контейнеров, и такая стегосистема будет совершенной. Если скрываемая информация представляет собой осмысленные сообщения, которые описываются последовательностями с неравномерными и зависимыми между собой символами, то к требуемому виду их легко привести путем шифрования любым стойким шифром.

Опишем пример формально совершенной стегосистемы, в которой контейнеры представляет собой последовательности независимых и равновероятных случайных бит и в качестве функции встраивания скрываемых сообщений используется известная криптографическая функция типа «однократная подстановка». Пусть контейнер С есть равновероятно распределенная случайная последовательность длиной n бит. Формирователь ключа генерирует случайную равновероятно распределенную последовательность ключа k длиной n бит и передает ее Алисе и Бобу. Если Алиса активна, то функция встраивания представляет собой побитное суммирование по модулю 2 для скрытия n-битового сообщения m, где стего формируется по правилу . Получатель Боб извлекает скрытое сообщение вычислением . Сформированное стего S равновероятно распределено для последовательности n битов и поэтому . Таким образом, построение функции встраивания как однократной подстановки обеспечивает совершенность стегосистемы, если контейнер формируется равновероятным случайным источником.