Читать «Занимательная математика» онлайн - страница 26

Предположим теперь, что встречные поезда всегда немного перекрываются, минуя переезд — локомотив одного поезда чуть-чуть заходит за тормозную площадку последнего вагона другого. Как нетрудно понять, в этом случае все происходит так, как если бы поездов было вдвое меньше, но каждый поезд стал бы вдвое длиннее.

— Какая разница? — возразил мистер Джонсон.

— Разница есть, причем большая! Разумеется, вероятность подъехать к закрытому шлагбауму на переезде остается прежней. Но ждать у закрытого шлагбаума в этом случае пришлось бы вдвое дольше.

Таким образом, подъехав к переезду и увидев, что встречные поезда перекрылись только локомотивами, автомобилист вынужден будет ждать вдвое дольше.

— Понимаю, — задумчиво проговорил старый машинист, — если бы между поездами был промежуток в несколько минут, то автомобилист, пропустив один поезд, мог бы миновать переезд до того, как другой поезд прибудет к переезду, а если поезда перекрываются, то никакого промежутка между ними не получается.

— Рад, что вы обратили внимание на это важное обстоятельство, — улыбнулся врач. — Итак, мы пришли к заключению, что в случае точного перекрытия встречных поездов среднее время ожидания у переезда сокращается вдвое, а если поезда едва перекрываются, то время ожидания удваивается.

— А что происходит, если поезда на переезде перекрываются ровно наполовину? — поинтересовался мистер Джонсон.

— Давайте выясним. В этом случае поездов становится как будто вдвое меньше, но длина каждого поезда увеличивается на 50 %, т. е. поезд как бы становится в полтора раза длиннее. В этом случае вероятность подъехать к переезду, когда через него проходит поезд, нужно умножить на 1,5 / 2, а среднее время ожидания увеличивается в полтора раза. Итого: среднее время ожидания изменится в 1,5 / 2 * 1,5 = 1,125 раза. Таким образом, если встречные поезда на переезде перекрываются наполовину, то время ожидания увеличивается на 12,5 %.

— Подумать только! — с удивлением заметил мистер Джонсон. — Даже когда поезда перекрываются наполовину, автомобилисту приходится ждать дольше.

— Как видите, мистер Джонсон, время ожидания существенно зависит от того, насколько перекрываются встречные поезда на переезде. Давайте построим график, ведь теперь мы знаем, во сколько увеличивается время ожидания при полном перекрытии поездов, при их перекрытии наполовину и при едва начавшемся перекрытии, — предложил врач, доставая карандаш. — Как видите, полная площадь, соответствующая увеличению среднего времени ожидания (треугольник А), гораздо больше, чем полная площадь, соответствующая уменьшению среднего времени ожидания (треугольник В). Отсюда следует, что в среднем перекрытие встречных поездов заставляет автомобилистов ждать у переезда дольше, чем в том случае, когда одно и то же количество поездов курсирует по одноколейному пути в обоих направлениях.

Шмель

— А еще какие-нибудь задачи про поезда вы знаете? — немного помолчав, спросил старый машинист.